TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 382

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegeben Bereich.

$f(x,y)=\sin(x+y)+\sin x-\sin y$ für $0\leq x,y\leq \pi /2$

Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

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Lösungsvorschlag von Gittenburg

--Gittenburg 22:05, 12. Jun. 2019 (CEST)

Datei:TU Wien-Analysis VU (diverse)-Übungen 2024S-Beispiel 382 - Plot.svg

Kritische Punkte innerhalb des Bereichs

Wir bilden die partiellen Ableitungen:

$f_{x}=\cos(x+y)+\cos(x)$

$f_{y}=\cos(x+y)-\cos(y)$

Wir setzten sie gleich null:

$\cos(x+y)+\cos(x)=0$

$\cos(x+y)-\cos(y)=0$

Wir setzten die linken Seiten beider Gleichungen gleich und kürzen:

$\cos(x)=-\cos(y)$

Im angegeben Bereich lässt sich dies nur durch $x=y={\tfrac {\pi }{2}}$ lösen.

Weil dies keine Lösung für die obigen Gleichungen darstellt, schließen wir, dass die Funktion im gegebenen Bereich keine relativen Extrema oder Sattelpunkte aufweist.

Extrema am Rand des Bereichs

Auf der Suche nach absoluten Extrema setzen wir die Eckpunkte unseres Bereichs ein:

$f(0,0)=\sin 0+\sin 0-\sin 0=0$

$f(0,{\tfrac {\pi }{2}})=\sin {\tfrac {\pi }{2}}+\sin 0-\sin {\tfrac {\pi }{2}}=0$

$f({\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})=\sin \pi +\sin {\tfrac {\pi }{2}}-\sin {\tfrac {\pi }{2}}=0$

$f({\tfrac {\pi }{2}},0)=\sin {\tfrac {\pi }{2}}+\sin {\tfrac {\pi }{2}}-\sin 0=2$

Wenn wir uns die Funktion anschauen, erkennen wir, dass dies tatsächlich unsere absoluten Extrema sind (der Bereich und die Sinusfunktion lassen keine kleineren oder größeren Werte zu).

Um wirklich alle absoluten Extrema zu finden, müssen wir noch die Funktion an den Rändern des Bereichs untersuchen:

x = 0

$f(0,y)=\sin y+\sin 0-\sin y=0$

y = π/2

$f(x,{\tfrac {\pi }{2}})=\sin(x+{\tfrac {\pi }{2}})+\sin x-\sin {\tfrac {\pi }{2}}=\sin(x+{\tfrac {\pi }{2}})+\sin x-1$

$f'(x,{\tfrac {\pi }{2}})=\cos(x+{\tfrac {\pi }{2}})+\cos x=0\Rightarrow \cos(x+{\tfrac {\pi }{2}})=-\cos x\Rightarrow x={\tfrac {\pi }{4}}$

$f({\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {\pi }{2}})=\sin {\tfrac {\pi }{3}}+\sin {\tfrac {\pi }{4}}-\sin {\tfrac {\pi }{2}}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-1\approx 0.57$ (kein Extremum im Bereich)

x = π/2

$f({\tfrac {\pi }{2}},y)=\sin({\tfrac {\pi }{2}}+y)+\sin {\tfrac {\pi }{2}}-\sin y=\sin({\tfrac {\pi }{2}}+y)+1-\sin y$

$f'({\tfrac {\pi }{2}},y)=\cos({\tfrac {\pi }{2}}+y)-\cos y=0\Rightarrow \cos({\tfrac {\pi }{2}}+y)=\cos y$ (keine Lösung im Bereich)

y = 0

$f(x,0)=\sin x+\sin x-\sin 0=2\sin x$

$f'(x,0)=2\cos x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x={\tfrac {\pi }{2}}$ (bereits entdecktes Extremum)

Konklusion:

• absolute Minima sind $({\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ sowie $(0,y),\ y\in [0,{\tfrac {\pi }{2}}]$
• absolutes Maxima ist $({\tfrac {\pi }{2}},0)$