TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 405

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y^{″}-6y^{\prime }-27y=0$

(b) $y^{″}+6y^{\prime }+9y=0$

(c) $y^{″}-6y^{\prime }+25y=0$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

von ichchefdunix:

(a) : Aufstellen der charakteristischen Gleichung: ${\lambda }^2-6\lambda -27=0$

Dann lösen durch Lösungsformel(hier erhält man 2 versch. reelle Werte): ${\lambda }_1=9,{\lambda }_2=-3$

$\Rightarrow$ $y_h(x)=C_1{e}^{9x}+C_2{e}^{-3x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

(b) : Aufstellen der charakteristischen Gleichung: ${\lambda }^2+6\lambda +9=0$

Hier erhält man eine doppelt zu zählende Lösung(im reellen): ${\lambda }_1={\lambda }_2=-3$

$\Rightarrow$ $y_h(x)=(C_1+C_{2}n)e^{-3x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

(c) : Aufstellen der charakteristischen Gleichung: ${\lambda }^2-6\lambda +25=0$

Hier erhält man(wiederum durch lösen mit Lösungsformel) komplexe Zahlen: ${\lambda }_{1,2}=3\pm 4i$

$\Rightarrow$ $y_h(x)=e^{3x}(C_{1}cos(4x)+C_{2}sin(4x))$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Anm.: Auf die endgültige Lösung der homogenen Differentialgleichung erhält man mehr oder weniger durch "einsetzen" in die "Formeln" im mathe-Buch (s. 297), Satz 7.35