TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 52

Sei die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv gegeben durch $a_{0}=0$ und

$a_{n}=a_{n-1}+{\frac {1}{n(n+1)}}\quad (n\geq 1)$.

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion) $a_{n}=1-{\frac {1}{n+1}}$ und bestimme den Grenzwert.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von sleepwalker

Induktionsanfang:
$a_{0}=1-{\frac {1}{0+1}}=1-1=0$

Induktionsschritt $n\to n+1$:

Induktionsvoraussetzung:
$a_{n}=1-{\frac {1}{n+1}}$

Induktionsbehauptung:
$a_{n+1}=1-{\frac {1}{(n+1)+1}}=1-{\frac {1}{n+2}}$

In das Bildungsgesetz der Folge einsetzen:
$a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}=1-{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

Der Term ${\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ lässt sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung darstellen als:
${\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}$

$1-{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}=1-{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}=1-{\frac {1}{n+2}}$

Grenzwert:
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }1-{\frac {1}{n+1}}=\lim _{n\to \infty }1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}=1-0=1$