TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 52

Sei die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ rekursiv gegeben durch $a_0=0$ und

$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n(n+1)}(n\ge 1)$.

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion) $a_n=1-\frac{1}{n+1}$ und bestimme den Grenzwert.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von sleepwalker

Induktionsanfang:
$a_0=1-\frac{1}{0+1}=1-1=0$

Induktionsschritt $n\to n+1$:

Induktionsvoraussetzung:
$a_n=1-\frac{1}{n+1}$

Induktionsbehauptung:
$a_{n+1}=1-\frac{1}{(n+1)+1}=1-\frac{1}{n+2}$

In das Bildungsgesetz der Folge einsetzen:
$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

Der Term $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ lässt sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung darstellen als:
$\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$

$1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$

Grenzwert:
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1-\frac{1}{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n+1}=1-0=1$