TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 53

Sei die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv gegeben durch $a_{0}=0$ und

$a_{n+1}=a_{n}+{\frac {n}{(n+1)!}}$

$(n\geq 0)$

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion)

$a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$

und bestimme den Grenzwert.

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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Angabe

Induktionsanfang:

n=0: $0=1-{\frac {1}{0!}}=0$

n=1: $0+{\frac {1}{2!}}={\frac {1}{2}}=1-{\frac {1}{2!}}$

Induktionsschritt:

Jetzt setzen wir in der rekursiven Definition der Folge für $a_{n}$ die Induktionsbehauptung $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ ein.

Das vergleichen wir mit der Induktionsbehauptung für $a_{n+1}$:

$1-{\frac {1}{n!}}+{\frac {n}{(n+1)!}}=1-{\frac {1}{(n+1)!}}$

$-{\frac {(n+1)!}{n!}}+{\frac {n(n+1!)}{(n+1)!}}=-1$

$n+1-n=1$

$1=1$

Die Ind.behauptung $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ ist also richtig.

Grenzwert:

$\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n!}})=1$

--Slaybert (Diskussion) 14:23, 14. Apr. 2013 (CEST)

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BSP im Informatik-Forum

Bsp 54

--Slaybert (Diskussion) 06:43, 16. Apr. 2013 (CEST)

Lösungsansatz von Padraig

Siehe https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_1_2022S.pdf für meinen Lösungsansatz.

-- Saturday 26.03.2022 09:08 (CEST)