TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 64

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{(n+2)!}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

(Leider ohne LaTeX)

Auf Differenzen-Darstellung umformen:
(n+1)/(n+2)!
Kann erweitert werden mit: -1/(n+2)!
<=> (n+2)/(n+2)! - 1/(n+2)!
(n+2) heraus heben
<=> (n+2)/((n+2)*(n+1)!) - 1/(n+2)!
(n+2) kürzen, und man erhält eine Differenzen-Darstellung
<=> 1/(n+1)! - 1/(n+2)!

Partialsummenfolge bilden:
sn = 1/2! - 1/3! + 1/3! - 1/4! + 1/4! - 1/5! + ... + 1/(n+1)! - 1/(n+2)!
Wie man sieht kürzen sich die ganzen Partialsummen weg.
sn = 1/2 + 1/(n+1)! - 1/(n+2)!
    Edit: 1/(n+1)! fällt durch das Kürzen weg!?
Edit2: JA! wenn man das vorletzte Glied aufschreibt, sieht man, dass 1/(n+1)! wegfällt. Bitte ausbessern falls wer Zeit findet

Grenzwert berechnen:
lim(sn) = 1/2 + lim(1/(n+1)!) - lim(1/(n+2)!)
Alle 1/(n+1)! und 1/(n+2)! sind Nullfolgen und konvergieren somit gegen 0.
lim(sn) = 1/2 + 0 - 0

Also ist der Grenzwert: lim(sn) = 1/2