TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 93

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum \limits _{n\geq 0}{\binom {2n}{n}}x^{n},\quad |x|<{\frac {1}{4}}$

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Lösungsvorschlag von Padraig

Definition - Limesform des Quotientenkriteriums: Aus $\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<1$ folgt die absolute Konvergenz der Reihe $\sum _{n}a_{n}$ und aus $\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1$ deren Divergenz.

Zunächst formen wir um, um uns somit die Anwendung des Quotientenkriteriums später zu erleichtern.

$a_{n}={\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{n!(2n-n)!}}={\frac {(2n)!}{n!\cdot n!}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}$

$a_{n+1}={\binom {2n+2}{n+1}}={\frac {(2n+2)!}{(n+1)!(2n-n+1)!}}={\frac {(2n+2)!}{((n+1)!)^{2}}}$

Damit lässt sich arbeiten; wenden wir wir also das Quotientenkriterium an:

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {{\frac {(2n+2)!}{((n+1)!)^{2}}}{\cancel {x^{n+1}}}}{{\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\cancel {x^{n}}}}}={\frac {(2n+2)!\cdot (n!)^{2}\cdot x}{((n+1)!)^{2}\cdot (2n)!}}$

${\frac {(2n+2)(2n+1)(2n)!(n!)^{2}x}{((n+1)n!)^{2}\cdot (2n)!}}={\frac {2{\cancel {(n+1)}}(2n+1){\cancel {(2n)!}}{\cancel {(n!)^{2}}}x}{(n+1)^{\cancel {2}}{\cancel {(n!)^{2}}}{\cancel {(2n)!}}}}$

${\frac {2(2n+1)x}{n+1}}={\frac {(4n+2)x}{n+1}}={\frac {4nx+2x}{n+1}}$

Da wir zeigen wollen, dass die Summe in einem definierten Bereich konvergiert, brauchen wir per definitionem den Limes Superior:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{|{\frac {4nx+2x}{n+1}}|}$

Hier sind Zähler und Nenner uneigentlich konvergente Folgen, also lassen sich Rechenregeln bezüglich Limites nicht direkt anwenden. Herausheben der höchsten Potenz liefert uns jedoch:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{|{\frac {4x+{\frac {2x}{n}}}{1+{\frac {1}{n}}}}}|=|{\frac {4x+0}{1+0}}|=|4x|$

Wenn nun gilt, dass $|x|<{\frac {1}{4}}$, so gilt $\limsup {a_{n}}<1$, und wir haben die absolute Konvergenz für diesen Bereich erfolgreich gezeigt.

--Padraig (Diskussion) 19:27, 04. Apr. 2022 (CEST)