TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 93

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum _{n\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})x^n,|x|<\frac{1}{4}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Padraig

Definition - Limesform des Quotientenkriteriums: Aus $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ folgt die absolute Konvergenz der Reihe $\sum _n{a}_n$ und aus $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ deren Divergenz.

Zunächst formen wir um, um uns somit die Anwendung des Quotientenkriteriums später zu erleichtern.

$a_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$

$a_{n+1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{n+1})=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(2n-n+1)!}=\frac{(2n+2)!}{((n+1)!{)}^2}$

Damit lässt sich arbeiten; wenden wir wir also das Quotientenkriterium an:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(2n+2)!}{((n+1)!{)}^2}\cancel{x^{n+1}}}{\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\cancel{x^n}}=\frac{(2n+2)!\cdot (n!{)}^2\cdot x}{((n+1)!{)}^2\cdot (2n)!}$

$\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!(n!{)}^{2}x}{((n+1)n!{)}^2\cdot (2n)!}=\frac{2\cancel{(n+1)}(2n+1)\cancel{(2n)!}\cancel{(n!{)}^2}x}{(n+1{)}^{\cancel{2}}\cancel{(n!{)}^2}\cancel{(2n)!}}$

$\frac{2(2n+1)x}{n+1}=\frac{(4n+2)x}{n+1}=\frac{4nx+2x}{n+1}$

Da wir zeigen wollen, dass die Summe in einem definierten Bereich konvergiert, brauchen wir per definitionem den Limes Superior:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}|\frac{4nx+2x}{n+1}|$

Hier sind Zähler und Nenner uneigentlich konvergente Folgen, also lassen sich Rechenregeln bezüglich Limites nicht direkt anwenden. Herausheben der höchsten Potenz liefert uns jedoch:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}|\frac{4x+\frac{2x}{n}}{1+\frac{1}{n}}|=|\frac{4x+0}{1+0}|=|4x|$

Wenn nun gilt, dass $|x|<\frac{1}{4}$, so gilt $lim\; sup{a}_n<1$, und wir haben die absolute Konvergenz für diesen Bereich erfolgreich gezeigt.

--Padraig (Diskussion) 19:27, 04. Apr. 2022 (CEST)