TU Wien:Diskrete Mathematik für Informatik UE (Drmota)/Übungen WS10/Beispiel 19

Angabe

Man bestimme ohne Verwendung von Polarkoordinaten die Lösung der Gleichung $z^{2} - 3 z + 3 + i = 0$ .

$z_{1, 2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 3 - i}$

$z_{1, 2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{- 3}{4} - i}$

Die Wurzel lässt sich wie in der Vorlesung besprochen lösen.

$\sqrt{\frac{- 3}{4} - i} = (a + i b)$

$\frac{- 3}{4} - i = a^{2} - b^{2} + 2 i a b$

Gleichung auflösen:

$a = - \frac{1}{2 b}$

Wieder in die Formel einsetzen:

$b^{4} - \frac{3}{4} b^{2} - \frac{1}{4} = 0$

Nach $b^{2}$ lösen:

$b_{1, 2}^{2} = \frac{3}{8} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{8})}^{2} + \frac{1}{4}}$

Ergibt:

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

Einsetzen in die Ausgangsformel:

$z_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm (- \frac{1}{2} + i)$

Ergebnis:

$z_{1} = 1 - i$

$z_{2} = 2 - i$