TU Wien:Diskrete Mathematik für Informatik UE (Drmota)/Übungen WS10/Beispiel 19

Angabe

Man bestimme ohne Verwendung von Polarkoordinaten die Lösung der Gleichung $z^{2}-3z+3+i=0$.

Lösungsvorschlag

$z_{1,2}={\frac {3}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-3}{2}}\right)^{2}-3-i}}$

$z_{1,2}={\frac {3}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {-3}{4}}-i}}$

Die Wurzel lässt sich wie in der Vorlesung besprochen lösen.

${\sqrt {{\frac {-3}{4}}-i}}=(a+ib)$

${\frac {-3}{4}}-i=a^{2}-b^{2}+2iab$

Gleichung auflösen:

$a=-{\frac {1}{2b}}$

Wieder in die Formel einsetzen:

$b^{4}-{\frac {3}{4}}b^{2}-{\frac {1}{4}}=0$

Nach $b^{2}$ lösen:

$b_{1,2}^{2}={\frac {3}{8}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-3}{8}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}$

Ergibt:

$a=-{\frac {1}{2}}$

$b=1$

Einsetzen in die Ausgangsformel:

$z_{1,2}=-{\frac {3}{2}}\pm \left(-{\frac {1}{2}}+i\right)$

Ergebnis:

$z_{1}=1-i$

$z_{2}=2-i$