f(z)=arctan(z){\displaystyle f(z)=arctan(z)}
f′(z)=11+z2=∑n=0∞(−1)nz2n{\displaystyle f'(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}z^{2n}} (das ist ja nichts anderes als eine geometrische Reihe)
wenn wir nun einfach gliedweise Integrieren kommt raus:
arctan(z)=∑n=0∞(−1)nz2n+12n+1+C{\displaystyle arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}+C}
das C kann bestimmt werden in dem man z=0 setzt:
arctan(0)=∑n=0∞0+C{\displaystyle arctan(0)=\sum _{n=0}^{\infty }0+C}
0=∑n=0∞C{\displaystyle 0=\sum _{n=0}^{\infty }C}
also ist C=0{\displaystyle C=0}
mit dem Ergebnis
arctan(z)=∑n=0∞(−1)nz2n+12n+1{\displaystyle arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}}
Thread dazu im Informatikforum
(das ist ja nichts anderes als eine geometrische Reihe)
