TU Wien:Diskrete Mathematik für Informatik UE (Drmota)/Übungen WS10/Beispiel 35

$f(z)=arctan(z)$

$f^{\prime }(z)=\frac{1}{1+z^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n{z}^{2n}$ (das ist ja nichts anderes als eine geometrische Reihe)

wenn wir nun einfach gliedweise Integrieren kommt raus:

$arctan(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{z^{2n+1}}{2n+1}+C$

das C kann bestimmt werden in dem man z=0 setzt:

$arctan(0)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}0+C$

$0=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}C$

also ist $C=0$

mit dem Ergebnis

$arctan(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{z^{2n+1}}{2n+1}$

Thread dazu im Informatikforum