TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Übungen SS12/Blatt 3 - Beispiel 3

Let $\Delta \,$ be the following set of defaults, where $a\,$, $b\,$, and $c\,$ are propositional atoms.

$\Delta =\left\lbrace \,{\frac {a:\neg b}{\neg b}},\,{\frac {c:b}{b}},\,{\frac {a,b:}{c}},\,{\frac {:\neg c}{a}}\,\right\rbrace$

Determine the extensions of the default theory $T=(W,\Delta )\,$ for

1. $W=\emptyset \,$
2. $W=\left\lbrace a,c\right\rbrace \,$
3. $W=\left\lbrace a\rightarrow b\right\rbrace \,$

Lösungsvorschlag

$\Delta =\left\lbrace \,\delta _{1}={\frac {a:\neg b}{\neg b}},\,\delta _{2}={\frac {c:b}{b}},\,\delta _{3}={\frac {a,b:}{c}},\,\delta _{4}={\frac {:\neg c}{a}}\,\right\rbrace$

W1

$W=\emptyset \,$

Es existieren keine Prämissen. Über $\delta _{4}\,$ lässt sich allerdings $a\,$ inferieren. Aus $\delta _{1}\,$ lässt sich dadurch in weiterer Folge $\neg b\,$ inferieren, weil über $\neg b\,$ sonst keine Information existiert. Sonst lassen sich keine Regeln anwenden.

$E={\text{Cn}}(\{a,\neg b\})$

W2

$W=\left\lbrace a,c\right\rbrace \,$

Mit $a\,$ ließe sich durch $\delta _{1}\,$ $\neg b\,$ inferieren, jedoch blockiert $\delta _{2}\,$ die Regel, weil wir ebenfalls $c\,$ als Prämisse haben. Es entstehen daher zwei Extensions für die jeweilige Regel.

${\begin{aligned}E_{1}&={\text{Cn}}(\{a,c,\neg b\})\\E_{2}&={\text{Cn}}(\{a,c,b\})\end{aligned}}$

W3

$W=\left\lbrace a\rightarrow b\right\rbrace \,$

Erst überlegt man sich, was ein Kanditat für eine Extension sein kann:

In dem Fall kann man

• über $\delta _{4}$ erst einmal a ableiten
• dann ergibt sich mit $W=\{a\rightarrow b\}$ auch b
• mit a, b kann man nun noch $\delta _{3}$ noch c ableiten

$\Rightarrow E=Cn\left(\{a\rightarrow b,a,b,c\}\right)$

Wer aber oben mitgedacht hat, wird festgestellt haben, dass sich bei der Anwendung der Defaults die Katze in den Schwanz beißt. (Bitte konkret sagen was gemeint ist, nicht alle können mit 'Katze in den Schwanz' was anfangen)

Man muss aber auf jeden Fall den Kandiaten noch überprüfen. Dazu muss man das klassische Redukt $\Delta _{E}$ bilden

$\Delta _{E}=\left\{\left.{\frac {\varphi }{\gamma }}\right|{\frac {\varphi :\psi _{1},\cdots \psi _{n}}{\gamma }}\in \Delta \land \{\neg \psi _{1},\cdots \neg \psi _{n}\}\cap E=\emptyset \right\}$

$\Delta _{E}=\left\{{\frac {c}{b}},{\frac {a,b}{c}}\right\}$

Damit bestimmt man nun iterativ die "Deductiv Closure" von W, also

$Cn^{\Delta _{E}}(W)=Cn\left(W\cup \bigcup _{i\geq 0}E_{i}\right)$

mit

$E_{0}=\left\{\gamma \left|{\frac {\varphi }{\gamma }}\in \Delta _{E}\land W\models \varphi \right.\right\}$
$E_{i}=\left\{\gamma \left|{\frac {\varphi }{\gamma }}\in \Delta _{E}\land W\cup E_{i-1}\models \varphi \right.\right\}$

in unserem Fall ist bereits $E_{0}=\emptyset$ und damit $Cn^{\Delta _{E}}(W)=Cn(W)=Cn(a\rightarrow b)$

Weil gelten muss $\Gamma _{T}(E)=Cn^{\Delta _{E}}(W)=E$ ist der obige Kanditat keine Extension. In diesem Fall gibt es also keine Extension der Theorie