TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Übungen SS12/Blatt 4 - Beispiel 1

Let $\Delta \,$ be the following set of defaults, where $a\,$, $b\,$, $c\,$, and $d\,$ are propositional atoms.

$\Delta =\left\lbrace \,{\frac {a:\neg c}{\neg c}},\,{\frac {b:c}{c}},\,{\frac {:d}{a}},\,{\frac {a:}{b}}\,\right\rbrace$

Determine the extensions of the default theory $T=(W,\Delta )\,$ for $W=\emptyset \,$ by determining the operator $\Gamma _{T}\,$ as described in the lecture.

Lösungsvorschlag von thomas

Atome die mittels der defaults in $\Delta$ abgeleitet werden können sind $\lbrace a,b,c,\neg c\rbrace$. Aus der Definition von $Cn^{\Delta _{E}}(W)$ wissen wir, dass auch nur diese für $\Gamma _{T}(E)$ relevant sind.

D.h. Kandidaten für Extensions wären $\{a\},\{b\},\{c\},\{\neg c\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,\neg c\},...$

Es wäre natürlich möglich, für jede Extension nun $\Gamma _{T}(E)$ zu berechnen, aber mit etwas Überlegen, können wir schon einige davon Eliminieren.

Beim bilden von $\Delta _{E}$ werden auf jeden Fall die Redukte $\varphi /\gamma$

• $\top /a$ (denn wir wissen in $\delta _{3}={\frac {:d}{a}}$ nichts Gegenteiliges über $d$, da $d$ in keiner Extension enthalten sein wird) und
• $a/b$ (weil in $\delta _{4}={\frac {a:}{b}}$ ist $\psi =\top$)

enthalten sein.

Damit sind in der Berechnung von $Cn^{\Delta _{E}}(W)$ auf jeden Fall nur jene Kandidaten relevant, die zumindest $a,b$ enthalten.

Also

${\begin{aligned}E_{1}&=Cn(\{a,b\})\\E_{2}&=Cn(\{a,b,c\})\\E_{3}&=Cn(\{a,b,\neg c\})\\E_{4}&=Cn(\{a,b,c,\neg c\})\end{aligned}}$

Für jene berechnen wir nun jeweils $\Delta _{E}$

${\begin{aligned}\Delta _{E_{1}}&=\{a/\neg c,b/c,/a,a/b\}\\\Delta _{E_{2}}&=\{b/c,/a,a/b\}\\\Delta _{E_{3}}&=\{a/\neg c,/a,a/b\}\\\Delta _{E_{4}}&=\{/a,a/b\}\end{aligned}}$

und nun $\Gamma _{T}(E)(=Cn^{\Delta _{E}}(W))$

${\begin{aligned}\Gamma _{T}(E_{1})&=Cn(\{a,b,c,\neg c\})\\\Gamma _{T}(E_{2})&=Cn(\{a,b,c\})\\\Gamma _{T}(E_{3})&=Cn(\{a,b,\neg c\})\\\Gamma _{T}(E_{4})&=Cn(\{a,b\})\\\end{aligned}}$

wir sehen, dass nur für

${\begin{aligned}\Gamma _{T}(E_{2})&=E_{2}\\\Gamma _{T}(E_{3})&=E_{3}\\\end{aligned}}$

gilt.

Laut Theorem, sind daher $E_{2}$ und $E_{3}$ extensions von $T$.