TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Übungen WS12/Blatt 1 - Beispiel 1

a) "check whether the following statements hold" heisst, dass wir pruefen muessen ob die formel gueltig ist. Dazu ersetzen wir einfach entailment durch eine implication:

$\phi \lor \psi \models (\psi \to (\phi \land \psi ))$

wird zu

$\phi \lor \psi \to (\psi \to (\phi \land \psi ))$

Nehmen wir nun $\phi =\bot$ und $\psi =\top$ so bekommen wir fuer die ganze formel auch $\bot$ und sie ist damit nicht gueltig:

$\bot \lor \top \to (\top \to (\bot \land \top ))$

$\top \to (\top \to \bot )$

$\top \to \bot$

$\bot$

b) funktioniert genauso, nur dass hier die Formel gueltig ist.

c) Wir starten mit $\psi =\bot$. Dann folgt, dass $\exists x$ sodass $\delta (x)\to \psi \equiv \top$. Da $\psi =\bot$ kann diese Implikation nur wahr sein, wenn $\delta (x)$ falsch ist. Dh es existiert min. ein x, so dass $\delta (x)\equiv \bot$.

Wenn wir uns dann die rechte Seite des Entailments anschauen, steht da $\forall x\delta (x)$, dh fuer alle x soll $\delta (x)\equiv \top$. Das widerspricht aber dem existiert von der linken Seite, daher koennen wir nur eins von beiden gleichzeitig wahr machen und wir muessen beide Faelle betrachten.

Ist die linke Seite wahr (dh $\exists x(\delta (x)\to \psi )\equiv \top$), dann wird der fuer alle Teile auf der rechten Seite falsch, und die Implikation und der gesamt Ausdruck damit wahr. Ist die linke Seite falsch, so ist das Ergebnis der rechten Seite egal, und der Ausdruck insgesamt ist wieder wahr.

Die zweite Moeglichkeit ist nun $\psi =\top$. Dann ist uns der Wert von $\delta (x)$ egal, die linke Seite des Entailments ist immer wahr. Auch die rechte Seite ist immer wahr, denn egal welchen Wert der fuer alle Ausdruck annimmt, $\psi$ auf der rechten Seite ist wahr und macht damit die Implikation auch wahr. Somit ist der Ausdruck auch jetzt immer wahr und die Formel ist damit gueltig.