TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Übungen WS12/Blatt 2 - Beispiel 2

Let $x$ be a variable, $\phi (x)$ be a formula containing $x$ free, and $\psi$ be a formula not containing $x$ free. Show:

If $\models \psi \to \phi (x)$, then $\models \psi \to \forall x\phi (x)$ .

Lösungsvorschlag Mononofu

Laut den Folien (pl1.pdf, Seite 30) gibt es zwei Möglichkeiten, mit freien Variablen umzugehen - entweder man schließt mit $\forall$ oder man interpretiert modulo einem "variable assignment". Ich habe mich für ersteres entschieden:

$\models \psi \to \phi (x)$

$\forall x(1\models \psi \to \phi (x))$

Laut Seite 40 der selben Folien darf man $\forall$ verschieben, womit man dann auf folgendes kommt:

$1\models \forall x(\psi \to \phi (x))$

$1\models \psi \to \forall x\phi (x)$

Was ja genau der rechten Seite entspricht.