TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Übungen WS12/Blatt 3 - Beispiel 2

Theorie

Determining the operator $\Gamma _{T}$ :

1. Classical reduct $\Delta _{E}$ :

   $\Delta _{E}:=\{\varphi /\gamma |(\varphi :\psi _{1},...,\psi _{n}/\gamma )\in \Delta$ and $\{\lnot \psi _{1},...,\lnot \psi _{n}\}\cap E=\emptyset \}$

2. $Cn^{\Delta _{E}}(W):=Cn(W\cup \bigcup _{i\geq 0}E_{i})$

   $E_{0}:=\{\gamma |\varphi /\gamma \in \Delta _{E}$ and $W\models \varphi \}$

   $E_{i}:=\{\gamma |\varphi /\gamma \in \Delta _{E}$ and $W\cup E_{i-1}\models \varphi \}$

3. Then: $\Gamma _{T}(E)=Cn^{\Delta _{E}}(W)$

Angabe

Let $T=(W,\Delta )$ be a propositional default theory over atoms a, b, and c, where $W=\emptyset$ and $\Delta$ is the set of defaults

$\delta _{1}={\frac {:\lnot b}{a}}$

$\delta _{2}={\frac {a:\lnot b}{c}}$

$\delta _{3}={\frac {c:\lnot a}{b}}$

Lösungsvorschlag 3dm45t3r

Determine the defaults applicable to $Cn(W)$ relative to $E$, as well as the classical reduct $\Delta _{E}$ for

2.1

$E=Cn(\{a\})$

defaults applicable relative to $E$

$\delta _{1}$ anwendbar

$\delta _{2},\delta _{3}$ nicht anwendbar

$\Delta _{E}:=\{/a,a/c\}$

$\Gamma _{T}(E)=Cn^{\Delta _{E}}(W)=Cn(W\cup \bigcup _{i\geq 0}E_{i})$

$E_{0}:=\{a\}$

$E_{1}:=\{a,c\}$

$\Gamma _{T}(E)=Cn(\{a,c\})$

$\Gamma _{T}(E)\neq E$ E keine Extension von T

2.2

$E=Cn(\{b\})$

defaults applicable relative to $E$

$\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}$ alle sind blockiert

$\Delta _{E}:=\{c/b\}$

$\Gamma _{T}(E)=Cn^{\Delta _{E}}(W)=Cn(W\cup \bigcup _{i\geq 0}E_{i})$

$E_{0}:=\emptyset$

$\Gamma _{T}(E)=Cn(\{\emptyset \})$

$\Gamma _{T}(E)\neq E$ keine Extension von T

2.3

$E=Cn(\{\emptyset \})$

defaults applicable relative to $E$

$\delta _{1}$ anwendbar

$\delta _{2},\delta _{3}$ nicht anwendbar

$\Delta _{E}:=\{/a,a/c,c/b\}$

$\Gamma _{T}(E)=Cn^{\Delta _{E}}(W)=Cn(W\cup \bigcup _{i\geq 0}E_{i})$

$E_{0}:=\{a\}$

$E_{1}:=\{a,c\}$

$E_{2}:=\{a,c,b\}$

$\Gamma _{T}(E)=Cn(\{a,c,b\})$

$\Gamma _{T}(E)\neq E$ keine Extension von T

Extension of T

$E=Cn(\{a,c\})$

Der Beweis

$\Gamma _{T}(E)=Cn^{\Delta _{E}}(W\cup \bigcup _{i\geq 0}Ei)$

$E_{0}:=\{a\}$

$E_{1}:=\{a,c\}$

$\Gamma _{T}(E)=Cn(\{a,c\})$

$\Gamma _{T}(E)=E$ Extension von T

Kommentare

habe ich auch so. schön ausgearbeitet! --Thrau (Diskussion) 18:42, 10. Dez. 2012 (CET)

Lösungsvorschlag groe

Durch Default-Regeln können, ganz generell, die 3 Atome a, b und c hergeleitet werden. Es gibt daher $2^{3}=8$ potentielle Extensions. Diese 8 Kandidaten sind:

$E_{1}:=Cn(\{\})$

$E_{2}:=Cn(\{a\})$

$E_{3}:=Cn(\{b\})$

$E_{4}:=Cn(\{c\})$

$E_{5}:=Cn(\{a,b\})$

$E_{6}:=Cn(\{b,c\})$

$E_{7}:=Cn(\{a,c\})$

$E_{8}:=Cn(\{a,b,c\})$

Für jeden diesen Kandidaten müssen wir nun überprüfen ob es tatsächlich eine Extension ist. Dafür bilden wir zunächst für jeden Kandidaten das klassische Redukt, wir reduzieren die Default-Regeln also auf Regeln klassischer Logik, je nachdem ob die Defaults zutreffen anwendbar sind.

$\Delta E_{1}:=\{/a,a/c,c/b\}$

$\Delta E_{2}:=\{/a,a/c\}$

$\Delta E_{3}:=\{c/b\}$

$\Delta E_{4}:=\{/a,a/c,c/b\}$

$\Delta E_{5}:=\{\}$

$\Delta E_{6}:=\{c/b\}$

$\Delta E_{7}:=\{/a,a/c\}$

$\Delta E_{8}:=\{\}$

Nun bilden wir $\Gamma _{T}$ für jede mögliche Extension. Wenn $\Gamma _{T}(E_{j})=E_{j}$ dann ist $E_{j}$ eine Extension.

$\Gamma _{T}(E_{1}):=Cn(\{a,b,c\})$

$\Gamma _{T}(E_{2}):=Cn(\{a,c\})$

$\Gamma _{T}(E_{3}):=Cn(\{b\})=E_{3}$ => Extension

$\Gamma _{T}(E_{4}):=Cn(\{a,b,c\})$

$\Gamma _{T}(E_{5}):=Cn(\{a,b\})=E_{5}$ => Extension

$\Gamma _{T}(E_{6}):=Cn(\{b,c\})=E_{6}$ => Extension

$\Gamma _{T}(E_{7}):=Cn(\{a,c\})=E_{7}$ => Extension

$\Gamma _{T}(E_{8}):=Cn(\{a,b,c\})=E_{8}$ => Extension

Kommentare

ich bin mir ziemlich sicher, dass da einiges falsch ist. bei $\Gamma _{T}(E_{3})$ z.B. kannst du die regel $c/b$ nicht anwenden, weil $W=\emptyset$, keine andere regeln in $\Delta _{E_{3}}$ enthalten sind, du damit bei dem herleiten von $Cn^{\Delta _{E_{3}}}(W)$ bei iteration $E_{0}$ bist, und $W\models \varphi$ für $\varphi =c$ nicht gilt. damit kann $b$ nicht in $Cn^{\Delta _{E_{3}}}(W)$ sein. analog sind die anderen imo auch falsch. --Thrau (Diskussion) 18:56, 10. Dez. 2012 (CET)