Let
be a consistent propositional theory. Show that
is inconsistent iff there are atomic formulas
such that
and
.
Hint: to show the only-if direction (left to right implication) you might first prove that if
is inconsistent, then
is non-empty. Further on, you might find it useful to consider the propositional variables appearing in
and to use the Contradiction Theorem.
Ich beginne hier mal mit der Richtung von links nach rechts, denn die andere Richtung ist trivial. Laut Hinweis soll man als erstes zeigen, dass
nicht leer sein kann, wenn
inconsistent ist.
Laut Voraussetzung ist
inconsistent und
consistent
Schritt 1:
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Per Definition:
Annahme:
Dann gilt:
ist aber nur dannn inconsistent wenn
inconsistent ist
Widerspruch
Contradiction Theorem:
Da
consistent aber
inconsistent (bzw. unerfüllbar), muss es ein
geben mit
inconsistent. Das heißt aber genau, dass
unerfüllbar ist und deshalb folgt aus dem Contradiction Theorem
. Jetzt stammt aber
aus
und
enthält nur Negationen, sprich
ist von der Form
sprich
. Da aber
gilt gleichzeitig
Diese Richtung ist trivial, da sobald eine Disjunktion aber gleichzeitig die Negation aller Glieder enthalten ist, die entstehende Menge inconsistent sein muss.