TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Prüfung 2013-01-30/Beispiel 2

Teilaufgabe a)

Closed World Assumption: Betrachten Sie beliebige Aussagenlogische Theorie T und beliebige Prädikate q

1. Zeigen Sie, dass immer $CW{A}^q(T)\subseteq CWA(T)$ gilt.
(Hinweis: Benützen Sie die Definition)

2. Zeigen Sie, dass, wenn es ein Prädikat q gibt, sodass $CW{A}^q(T)$ inkonsistent ist, dass dann auch $CWA(T)$ inkonsistent ist.

(10 Punkte)

Lösungsvorschlag:

Für 1:

$CWA(T)=Cn(T\cup T_{asm})$ $CW{A}^q(T)=Cn(T\cup T_{as{m}^q})$

$T_{asm}=\{\mathrm{\neg }P|T\models ̸P\}$ $T_{as{m}^q}=\{\mathrm{\neg }P|T\models ̸P\text{ und P ein Grundatom mit Prädikatsymbol q}\}$

Weil $T_{as{m}^q}\subseteq T_{asm}$ gilt auch $T_{as{m}^q}\cup T\subseteq T_{asm}\cup T$.

Wegen der Monotonie von $Cn(.)$ gilt daher $Cn(T_{as{m}^q})\subseteq Cn(T_{asm})$

Für 2:

Annahme: $CW{A}^q(T)=Cn(T\cup T_{as{m}^q})$ ist inkonsistent

Bedeutet, dass auch $T\cup T_{as{m}^q}$ inkonsistent sein muss, also $\mathrm{\forall }I(I(T\cup T_{as{m}^q})=0)$
Es gilt: $T_{as{m}^q}\subseteq T_{asm}$.
Weil eine inkonsistente Menge durch hinzufügen von Fakten nicht konsistent werden kann gilt:
$CWA(T)$ muss auch inkonsistent sein.

Alternativlösung für 2 von --Stampi (Diskussion) 15:14, 27. Jan. 2014 (CET)

Lt. Angabe ist $CW{A}^q(T)$ inkonsistent wegen $\{q,\mathrm{\neg }q\}\subseteq CW{A}^q(T)$

Da aber $CW{A}^q(T)\subseteq CWA(T)$gilt, gilt auch folgendes:

$\{q,\mathrm{\neg }q\}\subseteq CWA(T)$

$\Rightarrow$ CWA(T) ist inkonsistent

Teilaufgabe b)

Was versteht man unter Monotonie? Erfüllt die CWA die Monotonie-Eigenschaft? Wenn ja, begründen Sie Ihre Antwort; wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel. (6 Punkte)

Lösungsvorschlag:

Montonie: $W\models \psi \Rightarrow W\cup \{\varphi \}\models \psi$
Alternative Definition:
Wenn $\Gamma \subseteq \Delta$, dann $Cn(\Gamma )\subseteq Cn(\Delta )$

T = {P(a), Q(a), P(b), Q(b)}

CWA(T) = Cn(T)

$CWA(T)\models \mathrm{\forall }x(P(x)\wedge Q(x))$

$T_2=T\cup \{P(c)\}$

$CWA(T_2)\models ̸\mathrm{\forall }x(P(x)\wedge Q(x))$

Teilaufgabe c)

Was ist ein normaler Default, bzw. eine normale Default Theorie? Welcher Satz ist auf normale Default Theorien anwendbar?

Lösungvorschlag: '

Normaler Default:
Der Dfault hat die Form: $\phi :\psi /\psi$

Normale Default Theorie:
Wenn alle Defaults der Theorie normal sind

Normale Default Theorien besitzen immmer mind. eine Extension

Teilaufgabe d)

Gegeben ist eine Default Theorie T = (W,D) mit

$\Delta =\{Student(x):LikesCoffee(x)/LikesCoffee(x),Person(M):\mathrm{\neg }LikesCoffee(x)/\mathrm{\neg }LikesCoffee(x),Person(x):Student(x)/Student(x)\}$

wobei M und S Konstanten sind.

Welche der Folgenden Mengen ist eine Extension von T?

1. $Cn(\{Person(M),Person(S),Student(M),Student(S),LikesCoffee(M),LikesCoffee(S)\})$
2. $Cn(\{Person(M),Person(S),Student(M),Student(S),\mathrm{\neg }LikesCoffee(M),\mathrm{\neg }LikesCoffee(S)\})$
3. $Cn(\{Person(M),Person(S),Student(M),Student(S),\mathrm{\neg }LikesCoffee(M),LikesCoffee(S)\})$
4. $Cn(\{Person(M),Person(S),\mathrm{\neg }LikesCoffee(M),LikesCoffee(S)\})$

Lösung von --Stampi (Diskussion) 15:22, 27. Jan. 2014 (CET)

Keine der angegebenen Mengen ist eine Extension. Da keine Wissensbasis angegeben wurde, muss man annehmen, dass W = {} gemeint ist und aus den Defaults nichts abgeleitet werden kann.