TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Prüfung 2013-01-30/Beispiel 4

Teilaufgabe a)

Leiten Sie das Bayes'sche Gesetz aus der Produktregel her

Produktregel:

$P (V_{1}, .., V_{n}) = \prod_{i = 1}^{n} P (V_{i} | V_{i + 1}, .., V_{n})$ (unabhängig von der Reihenfolge von $V_{1}, ..., V_{n}$ )

$P (A, B) = P (A | B) P (B)$
$P (B, A) = P (B | A) P (A)$

Durch gleisetzten erhalten wird: $P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A)$
$P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B)}$

Entscheiden Sie, welche der folgenden Relationen für beliebige Boole'sche Zufallsvariablen A und B gelten:

1) $P (a, b) + P (a, \neg b) = P (a)$

2) $P (a | b) + P (a | \neg b) = 1$

3) $P (a | b) + P (\neg a | b) = 1$

4) $P (a, b) = P (a) P (b)$

(8 Punkte)

Lösungsvorschlag:

1) JA , siehe Folien Ws13/14 prob1.pdf (Seite 9 lt Nummerierung, eigentlich Seite 11)

2) NEIN

3) JA, lt. Definition

4) NEIN, weil diese Relation nur gilt wenn die beiden Zufallsvariablen unabhängig sind.