TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Prüfung 2013-03-22/Beispiel 4

Probabilistisches Schließen

Teilaufgabe a)

In der allgemeinen Bevölkerung haben 5 von 100.000 Leuten MLC. Ein Test ergibt bei erkrankten Leuten in 999 von 1.000 Fällen true. Bei gesunden Menschen meldet er fälschlicherweise auch bei 1 von 1.000 Fällen true.

Berechne $P(MLC|test=true)$.

(5 Punkte)

Lt. Angabe:

Laut Angabe:

$P(MLC)={\frac {5}{100000}}$

$P(test=true|MLC)={\frac {999}{1000}}$

$P(test=true|\neg MLC)={\frac {1}{1000}}$

Lösungsvorschlag:

$P(MLC|test=true)={\frac {P(test=true|MLC)*P(MLC)}{P(test=true|MLC)*P(MLC)+P(test=true|\neg MLC)*P(\neg MLC)}}$

$P(MLC|test=true)={\frac {{\frac {999}{1000}}*{\frac {5}{100000}}}{{\frac {999}{1000}}*{\frac {5}{100000}}+{\frac {1}{1000}}*(1-{\frac {5}{100000}})}}$

$P(MLC|test=true)={\frac {999}{20998}}$

Anmerkung von klues:

kann nicht richtig sein,

$P(test=true)=P(test=true|MLC)*P(MLC)+P(test=true|\neg MLC)*P(\neg MLC)$

(Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit)

Anmerkung von --Stampi (Diskussion) 14:41, 27. Jan. 2014 (CET)

Danke für deinen Hinweis. Ich habe es entsprechend korrigiert.

Teilaufgabe b)

Entscheiden Sie, welche der folgenden Relationen für beliebige Boole'sche Zufallsvariablen A und B gelten:

1. $P(a,b)+P(a,\neg b)=P(b)$
   richtig ☐ falsch ☐
2. $P(a|b)+P(a|\neg b)=1$
   richtig ☐ falsch ☐
3. $P(a|b)+P(\neg a|b)=1$
   richtig ☐ falsch ☐

(6 Punkte)

Lösungsvorschlag:

1. richtig ☐ falsch ☒
2. richtig ☐ falsch ☒ weil $P(a|b)+P(a|\neg b)=P(a)$
3. richtig ☐ falsch ☒ weil $P(a|b)+P(\neg a|b)=P(b)$ // Meiner Meinung nach müsste dies richtig sein siehe Folien prob2 S.2

Anmerkung von --Stampi (Diskussion) 14:44, 27. Jan. 2014 (CET)

3. ist richtig, denn $P(a|b)+P(\neg a|b)=1$. In prob2.pdf auf Seite 2 steht folgendes: $P(V_{i}=true|E=e)+P(V_{i}=false|E=e)=1$ was genau unserem Fall entspricht.

Teilaufgabe c)

Was ist ein Bayes'sches Netz (Grundidee, Komponenten, Berechnung der Wahrscheinlichkeiten)? Welche Unabhängigkeitsannahmen gelten in einem Bayes'schen Netz?

(6 Punkte)

Lösungsvorschlag: JasonLeroy (Diskussion) 13:05, 25. Jan. 2014 (CET)

Ein Bayes'sches Netz ist eine graphische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Unabhängigkeit zwischen den einzelnen Variablen beachtet. Es besteht formal aus

• Knoten, die die Zufallsvariablen darstellen
• gerichtete Kanten, die die Abhängigkeiten zwischen den Wahrscheinlichkeiten darstellen
• Jeder Knoten $V$ besitzt die abhängige Wahrscheinlichkeit $P(V|Parents(V))$
• Der Graph ist kreisfrei (unter Beachtung der gerichteten Kanten)

Zwei Knoten sind unabhängig voneinander, wenn sie keinen gemeinsamen Vaterknoten besitzen und nicht einer der beiden Vaterknoten des anderen ist (bei Evidenz eines Knotens gelten weitere Einschränkungen; siehe D-Separation).

Teilaufgabe d)

Gegeben ist folgender Graph eines Bayes'schen Netzes:

 A                                    B
 |                                    |
 v                                    v
 C                  D                 E
  \                / \               / \
   ------> F <-----   ------> G <----   -----> H
           |                   \              /
           v                    \            /
           I                     ----> J <---

Welche der folgenden Eigenschaften treffen zu?

1. F ist bedingt unabhängig von G bei Evidenz D.
   richtig ☐ falsch ☐
2. D ist bedingt unabhängig von E bei Evidenz F, G und H.
   richtig ☐ falsch ☐
3. I ist bedingt unabhängig von B bei Evidenz J.
   richtig ☐ falsch ☐
4. C ist bedingt unabhängig von D bei Evidenz A.
   richtig ☐ falsch ☐

Lösungsvorschlag 1: JasonLeroy (Diskussion) 12:36, 25. Jan. 2014 (CET)

1. richtig ☒ falsch ☐
2. richtig ☒ falsch ☐ korr. nach Stampi
3. richtig ☐ falsch ☒
4. richtig ☒ falsch ☐

Anmerkung von --Stampi (Diskussion) 16:49, 25. Jan. 2014 (CET)

Lösungsvorschlag 2 kann nicht stimmen:

D -> G <- E

Bei 2 eingehenden Kanten darf der Knoten zwischen den Kanten und dessen Nachfolgerknoten nicht in der Evidenzmenge sein.

Siehe auch: [1]

Links

• Datei:TU Wien-Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly) - Prüfung 2013-03-22.pdf
• Diskussion im Informatik-Forum