TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Prüfung 2014-05-05/Beispiel 2

Nichtmonotones Schließen

Teilaufgabe a)

Closed World Assumption: Man zeige, dass es eine aussagenlogische Theorie $T$ gibt, sodass folgende zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

(i) die CWA von $T$ ist inkonsistent

(ii) die CWA von $T$ relativ zu $p$ ist konsistent (wobei $p$ ein Atom ist).

Bemerkung: (i) und (ii) sind für Ihre Antwort nachzuweisen.

(3 Punkte)

Lösungsvorschlag von --JasonLeroy (Diskussion) 20:29, 26. Jan. 2015 (CET)

$T=\{a\vee b\}$

(i) $T_{asm}=\{\mathrm{\neg }a,\mathrm{\neg }b\}$

$T\cup T_{asm}$ ist inkonsistent, und damit ist auch $CWA(T)$ inkonsistent.

(ii) $T_{asm}^a=\{\mathrm{\neg }a\}$

$T\cup T_{asm}^a=\{a\vee b,\mathrm{\neg }a\}$ und damit konsistent. Daher ist auch $CWA(T)$ konsistent.

Teilaufgabe b)

Was ist ein normaler Default, bzw. eine normale Default Theorie? Welcher Satz ist auf normale Default Theorien anwendbar?

(2.5 Punkte)

Lösungsvorschlag von --JasonLeroy (Diskussion) 20:56, 26. Jan. 2015 (CET)

Ein Default ist normal gdw. er in folgender Form ist: $\frac{\phi :\psi }{\psi }$.

Eine Normale Default Theorie besteht nur aus normalen Defaults.

Normale Default Theorien besitzen immer Extensions.

Teilaufgabe c)

Beweisen oder widerlegen Sie, dass $Cn(T_1)\cup Cn(T_2)=Cn(T1\cup T2)$.

(2 Punkte)

Lösungsvorschlag von --JasonLeroy (Diskussion) 20:56, 26. Jan. 2015 (CET)

$T_1=\{\}$, damit ist $Cn(T_1)=\{\phi |\phi$ valid, $\phi$ closed $\}$

$T_2=\{a\}$, damit ist $Cn(T_2)=\{\phi |T_2\models \phi ,\phi$ closed $\}$

Nachdem auch $Cn(T_2)$ nur gültige Formeln enthält ($T_2$ ist nicht inkonsistent), ist $Cn(T_2)\subseteq Cn(T_1)$ und somit ist $Cn(T_1)\cup Cn(T_2)$ die Menge aller gültiger, geschlossener Formeln.

$T_1\cup T_2=T_2$ weil $T_1$ leer ist. Damit ist $Cn(T_1\cup T_2)=Cn(T_2)$ und somit lediglich $\{\phi |T_2\models \phi ,\phi \text{ closed}\}$. Womit die Aussage widerlegt ist.

vik_xxxl Anmerkung: Idee ist OK, aber nicht ganz korrekt. Ich bin nicht sicher dass Cn(T1) gültige formeln enthält und dann auch nicht sicher dass Cn(T1) teilmenge Cn(T2) ist. Und dann auch nicht sicher dass Cn(T1) U Cn(T2) die Menge aller gültiger, geschlossener Formeln ist. Menge aller gültiger formeln ist halt Cn(T1), aber vereinigt mit Cn(T2) ist mehr als Menge aller gültiger formeln.
Rechte Seite der Gleichheit stimmt. Und alles zusammen stimmt, nur Beschreibungen stimmen meiner meinung nach nicht.

Lösungsvorschlag #2: T1={a->b}, T2={a}. Dann ist Cn({a->b}) U Cn({a}) != Cn({a->b,a}) ....//.... {a->b,a} != {a->b,a,b}

Lösungsvorschlag #3: T1={-a}, T2={a}. Dann ist Cn({-a}) U Cn({a}) != Cn({-a,a}) ....//.... {a,-a} != menge aller formeln

Teilaufgabe d)

Definieren Sie den Abschluss einer offenen Default-Theorie $T=⟨W,\Delta ⟩$

(2 Punkte)

Lösungsvorschlag von --Tailorian (Diskussion) 13:06, 12. Jun. 2015 (CEST)

nmr2.pdf Seite 33 von 37

Der Abschluss, $\overline{T}$, von $T$ ist definiert wie folgt:

• Wenn $T$ geschlossen ist, dann ist $\overline{T}=T$

• Sonst, sei $T_1$ die skolemisiert von von $T$
  • ersetze alle open defaults in $T_1$ durch ihre Instanzen aus $TERMS(T_1)$
  • das Ergebnis ist $\overline{T}$

Teilaufgabe e)

Gegeben seien folgende Mengen ($a$ ist eine Konstantensymbol, $Q$, $R$ und $S$ sind Prädikatensymbole):

$\Delta =\{\frac{S(a):Q(a),R(a)}{Q(a)},\frac{R(a):\mathrm{\neg }Q(a)}{\mathrm{\neg }Q(a)},\frac{Q(a):S(a)}{\mathrm{\neg }S(a)}\}$

$W_1=\{R(a),S(a)\}$	$W_2=\{R(a),Q(a)\}$	$W_3=\{R(a),\mathrm{\neg }S(a)\}$
$E_1=Cn(W_1)$	$E2=Cn(W_2\cup \mathrm{\neg }S(a))$	$E_3=Cn(W_3\cup \{\mathrm{\neg }Q(a)\})$

(i) Geben Sie die klassischen Redukte ${\Delta }^{E_1}$ von $\Delta$ bezüglich den Mengen $E_i$ an, für $i=1,2,3$.

• ${\Delta }^{E_1}=$ {___________________________________}
• ${\Delta }^{E_2}=$ {___________________________________}
• ${\Delta }^{E_3}=$ {___________________________________}

(1.5 Punkte)

(ii) Markieren Sie die korrekten Aussagen:

1. $E_1$ ist eine Extension der Default Theorie $T_1=⟨W_1,\Delta ⟩$. ☐ wahr ☐ falsch
2. $E_2$ ist eine Extension der Default Theorie $T_2=⟨W_2,\Delta ⟩$. ☐ wahr ☐ falsch
3. $E_3$ ist eine Extension der Default Theorie $T_3=⟨W_3,\Delta ⟩$. ☐ wahr ☐ falsch

(1.5 Punkte)

Lösungsvorschlag von --Tyleet

(i)
${\Delta }_{E_1}=\{\frac{S(a)}{Q(a)},\frac{R(a)}{\mathrm{\neg }Q(a)},\frac{Q(a)}{\mathrm{\neg }S(a)}\}$
${\Delta }_{E_2}=\{\frac{S(a)}{Q(a)}\}$
${\Delta }_{E_3}=\{\frac{R(a)}{\mathrm{\neg }Q(a)}\}$

Lösungsvorschlag von --JasonLeroy (Diskussion) 10:32, 27. Jan. 2015 (CET) (ii)

(laut Prüfungskorrektur)

1. ☐ wahr ☒ falsch
2. ☐ wahr ☒ falsch; hier habe ich wahr angekreuzt, wurde aber als falsch gewertet.
3. ☒ wahr ☐ falsch

Lösungsvorschlag (ii)

1. ☐ wahr ☒ falsch
2. ☒ wahr ☐ falsch weil mit dem Classical reduct ${\Delta }_{E_2}$ lässt sich nichts Neues herleiten.
3. ☒ wahr ☐ falsch

vik_xxxl Anmerkung zu Lösungsvorschlag(ii): Obwohl sich mit classical reduct nichts neues herleiten kann, ist W2 != E2 und sommit falsch. Lösungsvorschlag(i) ist richtig.