TU Wien:Einführung in wissensbasierte Systeme VU (Egly)/Prüfung 2014-06-16/Beispiel 4

Teilaufgabe a)

Was versteht man unter Marginalisierung im Bezug auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Marginalisation ist das extrahieren der Verteilung einer Teilmenge von Variablen aus einer gegebenen Menge von Variablen.

Gegeben ist also: $P(V_{1},...,V_{n})$

und man möchte $P(V_{i1},...,V_{ik}),1\leq i_{j}\leq n$ berechnen.

Die Formel dazu ist

$P(V_{i1},...,V_{ik}),1\leq i_{j}\leq n=1\sum \limits _{V_{i1}=v_{i1},...,V_{ik}=v_{ik}}^{}P(V_{1},...,V_{n})$

Das bedeutet möchte man für die Variablen $P(Cavity,Toothache)$ die Verteilung von $P(cavity)$ berechnen, dann ist dass die Summe aller Zuordnungen, wobei Cavity = true als fix gilt.

$P(Cavity=true)=P(Cavity=true,Toothache=false)+P(Cavity=true,Toothache=true)$

Teilaufgabe b)

Welche Eigenschaften haben atomare Ereignisse? Welche Arten von Zufallsvariablen gibt es? Geben Sie Erklärungen an.

Ein atomares Ereignis ist die Zuweisung von Werten zu den Variablen aus denen die Welt besteht, also eine vollständige Spezifikation wie die Welt gerade ist.

Die Eigenschaften:

- gegenseitig Ausgeschlossen (mutually exclusive), also einer Variablen kann nur ein Wert zugewiesen werten (toothache und -toothache nicht gleichzeitig möglich

- exhaustive - es muss zumindest eines eintreten. Die Disjunktion alles atomaren Ereignisse ist äquivalent zu T.

Arten von Zufallsvariablen

- Boolean Zufallsvariablen {true, false}

- Diskrete Zufallsvariablen {rot, blau grün}

- Stetige Zufallsvariablen (Werte von den reellen Zahlen)

Teilaufgabe c)

Was ist ein bayes'sches Netz? (Grundidee, Komponenten, Unabhängigkeitsannahmen, Berechnung der Wahrscheinlichkeiten)

Ein bayes'sches Netz ist eine grafische Datenstruktur, die eine komplette Joint Probability Distrubution beschreibt, und im besonderen auf die Darstellung der Unabhängigkeit zwischen Variablen Wert legt.

Es ist ein gerichteter azyklischer Graph wobei jeder Knoten zusätzlich mit Wahrscheinlichkeitsinformationen annotiert wird.

Die Komponenten sind

- eine Menge von Zufallsvariablen (Knoten)

- eine Menge von gerichteten Kanten, wobei eine Kante vom Parent zum Child zeigt

- jeder Knoten hat eine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(V|Parents(V))$

Bezüglich Unabhängigkeit gilt: Jeder Knoten ist in der Wahrscheinlichkeit unabhängig von allen nicht-Kindern bedingt durch die Wahrscheinlichkeit von den Parents

$P(V|W,Parents(V))=P(V|Parents(V))$ in W sind weder Kinder noch Parents von V

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten

$P(V_{1},...,V_{n})=\prod \limits _{i=1}^{n}P(V_{i}|Parents(V_{i}))$