Beispiel 2 - (Nicht monotones Schließen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben ist folgende Wissesbasis $T$ über einer Sprache mit den einzigen Konstantensymbolen $a,b,c$ , dem Variablensymbol $x$ und den einzigen Prädikatensybolen $P$ und $Q$ :

$T=\{\neg P(a),Q(c)\rightarrow {P(c)},Q(b),\forall x(Q(x)\lor P(x))\}$

1. Geben Sie die Closed World Assumption $CWA(T)$ von $T$ an, indem Sie folgende Gleichung ergänzen:

$CWA(T)=Cn(T\cup T_{asm})$ where

$T_{asm}=\{\neg P(a),\neg P(b),\neg P(c),\neg Q(c)\}$

$\neg Q(a)\not \in T_{asm}$ , since $\{Q(a)\lor P(a),\neg P(a)\}\models Q(a)$

2. Welche der folgenden Eigenschaften treffen zu?

- $T$ is not deductively closed, since $Cn(T)\neq T$

- $CWA(T)$ is not consistent, since $(T\models Q(c)\lor P(c))\land (CWA(T)\not \models Q(c))\land (CWA(T)\not \models P(c)\})$

e)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien folgende Mengen, wobei $a$ und $b$ Konstantensymbole und $P,Q{\text{ und }}R$ Prädikate sind.

$W=\{\neg P(a),R(b)\},$

$\Delta =\{{\frac {P(a):\neg Q(b)}{Q(b)}},{\frac {R(b):P(b)}{Q(a)}},{\frac {R(a):P(a)}{Q(b)}}\}$

1. $T_{1}=(W,\Delta )$

The formal (or naive) way of computing extensions.

Step 1: Generate all sets of form $Cn(W\cup {\mathcal {C}})$ such that:

${\mathcal {C}}\subseteq \{\chi |{\frac {\varphi :\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}{\chi }}\in \Delta \}$

(intuitively: $Cn(W\cup {\mathcal {C}})$ for each ${\mathcal {C}}\in$ power set of derivable atoms in $\Delta$ )

$E_{1}=Cn(W\cup \{\})$

$E_{2}=Cn(W\cup \{Q(a)\})$

$E_{3}=Cn(W\cup \{Q(b)\})$

$E_{4}=Cn(W\cup \{Q(a),Q(b)\})$

Step 2: Generate classical reduct $\Delta$

$\Delta _{E_{1}}=\{P(a)/Q(b),R(b)/Q(a)\}$

$\Delta _{E_{2}}=\{P(a)/Q(b),R(b)/Q(a)\}$

$\Delta _{E_{3}}=\{R(b)/Q(a)\}$

$\Delta _{E_{4}}=\{R(b)/Q(a)\}$

Step 3: Apply derived rules recursively using the original knowledge base W. Iff $Cn^{\Delta _{E}}(W)$ is the original extension candidate $E$ then E is an extension of $T$ .