TU Wien:Elektrotechnische Grundlagen der Informatik VO (Grünbacher)/Formelsammlung (Stoff SS09)

Zeitfunktionen

Elementarfunktionen

Sprungfunktion

$\delta _{-1}(t)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}t<0\\1&{\text{wenn }}t\geq 0\end{cases}}$

Impuls-Funktion (Dirac-Impuls)

$\delta _{0}(t)=0\ {\text{ wenn }}t\neq 0$

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{0}(t)dt=1$

Die Kurvenform der Impuls-Funktion ist nicht festgelegt - es handelt sich um keine echte Funktion, die Bedeutung liegt lediglich in der Wirkung auf andere Funktionen!

Allgemeine Definition der Elementarfunktionen

$\delta _{i}(t)=\int _{-\infty }^{t}\delta _{i+1}(\tau )d\tau$

Faltung zweier Funktionen

$f(t)\ast g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

Faltung mit Elementarfunktionen

$f(t)\ast \delta _{i}(t)=\int _{0^{-}}^{t^{+}}f(\tau )\delta _{i}(t-\tau )d\tau =\int _{0^{-}}^{t^{+}}f(t-\tau )\delta _{i}(\tau )d\tau =f^{i}(t)$

Impuls ($i=\!\,0$): $g(t)\ast \delta _{0}(t)=g(t)$

Sprung ($i=\!\,-1$): $g(t)\ast \delta _{-1}(t)=\int _{0^{-}}^{t^{+}}g(\tau )d\tau$

Die Impulsfunktion hat die Eigenschaft einer Abtastfunktion, die Sprungfunktion legt die obere Integrationsgrenze fest - somit hat man die Möglichkeit, beliebige Zeitfunktionen aus Sprung oder Impuls zusammenzusetzen!

Sinusfunktion

Allgemeine Form

$s(t)=Asin(\omega _{0}t+\varphi )=Asin(2\pi ft+\varphi )$

$\omega _{0}=2\pi f=2\pi {\frac {1}{T_{0}}}$

Komplexe Darstellung (Zusammenhang über Euler'sche Beziehung)

${\vec {s}}(t)=Ae^{j(\omega _{0}t+\varphi )}=Acos(\omega _{0}t+\varphi )+jAsin(\omega _{0}t+\varphi )$

Ermittlung des reellwertigen Signals durch Realteilbildung: $s(t)=Re\{Ae^{j(\omega _{0}t+\varphi )}\}=Acos(\omega _{0}t+\varphi )$

Komplexe Exponentialfunktion

${\vec {s}}(t)={\vec {K}}e^{st}\ \ \ \ \ {\vec {K}}=Ae^{j\varphi }\ \ \ \ \ s=\sigma +j\omega$

Signale

Spektralsynthese

Aufbau eines Signals aus sinusoidalen Schwingungen - Reelle Schreibweise

$s(t)=A_{0}+A_{1}cos(\omega _{1}t+\varphi _{1})+...+A_{N}cos(\omega _{N}t+\varphi _{N})=A_{0}+\sum _{k=1}^{N}A_{k}cos(\omega _{k}t+\varphi _{k})$

Komplexe Schreibweise - einseitiges Spektrum

${\vec {s}}(t)=X_{0}+\sum _{k=1}^{N}A_{k}e^{j(\omega _{k}t+\varphi _{k})}=X_{0}+\sum _{k=1}^{N}{\vec {X_{k}}}e^{j\omega _{k}t}$

${\vec {X_{k}}}=A_{k}e^{j\varphi _{k}}$

Mit Hilfe der komplexen Ampltitude ${\vec {X_{k}}}$ wird die Phasenverschiebung des Zeigers in die Amplitude verlagert, wodurch eine kompaktere Schreibweise möglich ist!

Komplexe Schreibweise - zweiseitiges Spektrum

Herleitung mittels der inversen Euler'schen Formel: $cos(\varphi )={\frac {1}{2}}(e^{j\varphi }+e^{-j\varphi })$

$s(t)=X_{0}+\sum _{k=1}^{N}\{{\frac {\vec {X_{k}}}{2}}e^{j\omega _{k}t}+{\frac {\vec {X_{k}^{\ast }}}{2}}e^{-j\omega _{k}t}\}$

Spektralanalyse mit Fourierreihen

Darstelllung der Fourierreihe mit trigonometrischen Polynomen

$s(t)={\frac {A_{0}}{2}}+A_{1}cos(\omega _{0}t)+A_{2}cos(2\omega _{0}t)+...+A_{N}cos(N\omega _{0}t)+$

$+B_{1}sin(\omega _{0}t)\!\,+B_{2}sin(2\omega _{0}t)+...+B_{N}sin(N\omega _{0}t)=$

$={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}(A_{k}cos(k\omega _{0}t)+B_{k}sin(k\omega _{0}t))$

Darstellung der Fourierreihe nach Betrag und Phase

$s(t)=C_{0}+C_{1}cos(\omega _{0}t+\varphi _{1})+C_{2}cos(2\omega _{0}t+\varphi _{2})+...+C_{N}cos(N\omega _{0}t+\varphi _{N})=$

$=C_{0}+\sum _{k=1}^{N}C_{k}cos(k\omega _{0}t+\varphi _{k})$

Umrechungsformeln: $C_{k}={\sqrt {A_{k}^{2}+B_{k}^{2}}}\ \ \ \ \ \varphi _{k}=arctan({\frac {-B_{k}}{A_{k}}})\ \ \ \ \ C_{0}={\frac {A_{0}}{2}}$

Komplexe Darstellung der Fourierreihe

$s(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\vec {D_{k}}}e^{jk\omega _{0}t}$

Ermittlung der Koeffizienten (=Amplituden)

$A_{k}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}s(t)cos(k\omega _{0}t)dt$

$B_{k}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}s(t)sin(k\omega _{0}t)dt$

${\vec {D_{k}}}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}s(t)e^{-jk\omega _{0}t}dt$

mit Periodendauer $T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}={\frac {1}{f_{0}}}$

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

Berechnung des Integrals durch Zerlegung der Fläche in $N\!\,$ rechteckige Streifen im Abstand $T_{s}\!\,$:

${\vec {D_{k}}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}s(nT_{s})e^{-jk\omega _{0}n}\ \ \ \ \ N={\frac {T}{T_{s}}}$

Spektralanalyse mittels Fouriertransformation

Direkte und inverse Fouriertransformation

$F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$

Fouriertransformierte eines Rechtecksignals

$f(t)={\begin{cases}1&{\text{ wenn }}-{\frac {\tau }{2}}\leq t\leq {\frac {\tau }{2}}\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}$

$F(\omega )=\tau sinc({\frac {\omega \tau }{2}})$

Fouriertransformierte des Einheitsimpulses

$f(t)=\!\,\delta _{0}(t)$

$F(\omega )\!\,=1$

Das Spektrum der Impulsfunktion enthält alle Frequenzen von $-\infty$ bis $\infty$, deren Amplitude für alle Frequenzen gleich ist!

Ideale elektrische Bauelemente

Idealer Widerstand

Ohm'sches Gesetz

$U=R\cdot I$

Leistung

$P=U\cdot I$

Kapazität (= idealer Kondensator)

Gespeicherte Ladung

$Q=C\cdot U$

Zusammenhang zwischen Strom und Spannung

$i_{c}(t)={\frac {dq}{dt}}=C{\frac {du_{c}}{dt}}$

$u_{c}(t)=\int {\frac {i_{c}(t)dt}{C}}={\frac {1}{C}}\int i_{c}(t)dt$

Gespeicherte elektrische Energie

$W_{c}={\frac {1}{2}}CU^{2}={\frac {1}{2}}QU$

Aufladevorgang einer Kapazität

$u_{c}(t)=U(1-e^{-{\frac {1}{RC}}t})$

Strom sinkt, Spannung steigt!

Induktivität (= ideale Spule)

Zusammenhang zwischen Strom und Spannung

$u_{L}(t)=L{\frac {di_{L}}{dt}}$

$i_{L}(t)=\int {\frac {u_{L}(t)dt}{L}}={\frac {1}{L}}\int u_{L}(t)dt$

Gespeicherte Energie

$W_{L}={\frac {1}{2}}LI^{2}$

Einschaltstrom einer Induktivität

$i_{L}(t)={\frac {U}{R}}(1-e^{-{\frac {L}{R}}t})$

Strom steigt, Spannung sinkt!

maximale Leistung einer Spannungsquelle mit Innenwiderstand

$P_{lmax}={\frac {U_{0}^{2}}{4R_{i}}}$

Gilt, wenn der Lastwiderstand genau dem Innenwiderstand der Quelle entspricht!

Lösung der Netzwerkgleichungen

Wechselstromnetz - Effektivwert (RMS)

Effektivwert der Spannung

$U_{eff}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}u^{2}(t)dt}}$

Die Effektivspannung ist jene Spannung, die eine Gleichspannungsquelle haben müsste, um die gleiche Leistung an einem ohm'schen Widerstand zu verbrauchen wie die Wechselspannungsquelle!

Für eine sinusförmige Wechselspannung $u(t)={\hat {U}}sin(\omega t)$ gilt:

$U_{eff}={\hat {U}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ bzw. Diese Formel steht leider falsch im Skriptum! Zum vergleich http://de.wikipedia.org/wiki/Effektivwert

${\hat {U}}=U_{eff}{\sqrt {2}}$

Mittlere Leistung

$p(t)=u(t)i(t)={\frac {u^{2}(t)}{R}}$

$P_{mittel}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {u^{2}(t)}{R}}dt={\frac {U_{eff}^{2}}{R}}$

Komplexe Widerstände

Kapazität

${\vec {U_{C}}}={\vec {Z_{C}}}{\vec {I_{C}}}\ \ \ \ \ \ {\vec {Z_{C}}}=-j{\frac {1}{\omega C}}={\frac {1}{sC}}$

Induktivität

${\vec {U_{L}}}={\vec {Z_{L}}}{\vec {I_{L}}}\ \ \ \ \ \ {\vec {Z_{L}}}=j\omega L=sL$

Laplace-Transformation

$F(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

$f(t)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds$

Verstärker

Invertierender OPV

$A={\frac {U_{a}}{U_{e}}}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

Nicht-invertierender OPV

$A={\frac {U_{a}}{U_{e}}}=1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

Analoge Signalverarbeitung

Addierer und Subtrahierer

${\frac {U_{1}}{R_{1}}}+{\frac {U_{2}}{R_{2}}}+{\frac {U_{3}}{R_{3}}}+...+{\frac {U_{n}}{R_{n}}}=-{\frac {U_{a}}{R_{g}}}$

$-U_{a}={\frac {R_{g}}{R_{1}}}U_{1}+{\frac {R_{g}}{R_{2}}}U_{2}+...+{\frac {R_{g}}{R_{n}}}U_{n}$

Integrator

$u_{a}=-{\frac {1}{RC}}\int _{0}^{\tau }u_{e}dt+U_{a}|_{t=0}$

Differentiator

$u_{a}=-RC{\frac {du_{e}}{dt}}$

Signalabtastung

Mathematische Darstellung des Abtastvorgangs

$f_{S}(t)\!\,=f(t)\delta _{0T}(t)=\sum _{k}f(kT_{s})\delta _{0}(t-kT_{s})$

mit Abtastabstand $T_{s}\!\,$ Sekunden

Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT)

$X(e^{j\omega })=\sum _{n=\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$

Das Spektrum der DTFT ist kontinuierlich und periodisch fortgesetzt!

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$

FIR-Filter

Allgemeine Rechenvorschrift (Filtergleichung)

$y[n]=\sum _{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$

Die Größe M nennt man Ordnung des Filters, wobei jedoch M+1 Werte in die Berechnung der Ausgangsfolge eingehen!

Impulsantwort

Mit Einheitsimpuls für diskrete Systeme: $\delta _{0}[n]={\begin{cases}1&{\text{ wenn }}n=0\\0&{\text{ wenn }}n\neq 0\end{cases}}$

$y[n]=h[n]=\sum _{k=0}^{M}b_{k}\delta _{0}[n-k]={\begin{cases}b_{n}&{\text{ wenn }}n=0,1,...,M\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}$

Das Anlegen eines Einheitspulses an ein FIR-Filter bewirkt, dass am Ausgang die Folge der Filterkoeffizienten $b_{k}\!\,$ erscheint! Aufgrund der Tatsache dass die Zahl der Koeffizienten endlich ist, ist auch die Dauer der Impulsantwort immer endlich, daher der Name Finite Impulse-Response Filter!

Faltungssumme

$y[n]=\sum _{k=0}^{M}h[k]x[n-k]=x[n]\ast h[n]$

Die Filtergleichung lässt sich also alternativ auch einfach als Faltung der Eingangsfolge mit der Impulsantwort (die ja der Folge der Koeffizienten entspricht) darstellen!

Frequenzgang

$H({\hat {\omega }})=\sum _{k=0}^{M}b_{k}e^{-j{\hat {\omega }}k}=\sum _{k=0}^{M}h[k]e^{-j{\hat {\omega }}k}$