TU Wien:Geometrie für Informatik VU (Kilian)/Prüfung 29.06.2012

Analytische Geometrie (kartesisches Koordinatensystem)

• Was ist die HNF der Ebene?
• Wie Berechnet sich der Abstand zw. Punkt und Gerade in HNF?
• Leite eine Formel für den Fußpunkt bei Orthogonalprojektion eines Punktes auf eine Ebene in HNF her.
• Gegeben sind Punkte $p_{i}$. Erkläre Ansatz zur Bestimmung der Ausgleichsgeraden mit Hilfe von kleinsten Quadraten.
• Gegeben sind Punkte $p_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$. Verwende die Methode der kleinsten Quadrate um die Koeffizienten des Ausgleichspolygons $z=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}x^{2}+a_{4}xy+a_{5}y^{2}$ in Abhängigkeit von $p_{i}$ zu bestimmen. Auftredende Gleichungen müssen nicht gelöst werden.

Projektive Geometrie

• Was ist eine projektive Skala?
• Konstruieren Sie auf nachstehender projektiver Skala den Punkt mit den inhomogenen Koordinaten $-1$. (Die Skala war eine Gerade mit eingezeichneten Koordinaten 1, 0, und inf.)
• Betrachte das hyperbolische Paraboloid $z=x^{2}-y^{2}$. Zeige dass durch jeden Flächenpunkt genau 2 Geraden verlaufen. (Hinweis: solche Geraden liegen stets auf der Tangentialebene.)

Differentialgeometrie

• Erkläre die Begriffe Normalkrümmung und Hauptkrümmung. Wie lassen sich Gaußkrümmung und mittlere Krümmung aus der Hauptkrümmung berechnen?
• Gegeben sind 2 nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurven $c_{1},c_{2}:I->R^{3}$. Für die Krümmungen gelte $k_{1}(s)=k_{2}(s)!=0$ für alle $sinI$. Zeige dass durch die tangentialflächen $x_{i}(s,v)=c_{i}(s)+vc_{i}'(s)$ mittels $x_{1}(s,v)->x_{2}(s,v)$ eine Isometrie definiert wird.