TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 126

Sei $mRn\iff |m|\le |n|,m,n\in \mathbb{Z}$.

Ist R eine Halbordnung auf $\mathbb{Z}$?

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Hilfreiches

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\mathrm{\forall }a\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\mathrm{\forall }a,b\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Damit die Relation R eine Halbordnung ist, muß sie die Eigenschaften Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität erfüllen.

Reflexivität: $mRm$?

$|m|\le |m|\mathrm{\forall }m\in \mathbb{Z}⟹$ reflexiv.

Antisymmetrie: $mRn\wedge nRm\Rightarrow m=n$?

Aus $|m|\le |n|\wedge |n|\le |m|$ folgt $|m|=|n|$. Diese Äquivalenz ist aber nicht nur erfüllt, wenn $m=n$, sondern aufgrund der Absolutbeträge auch wenn $m=-n$, daher ist R nicht antisymmetrisch.

Von Axel:

Ich habe die Antisymmetrie ein bisserl anders gemacht, der Grund: Wenn ich das Widerlegen von "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" als Beweisgrundlage hernehme, dann wird der Panholzer fragen woher ich wissen will, dass "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" und "mRn und nRm impliziert n=m" Äquivalent sind ;-)

Wenn man das gleich "von hinten rum" macht geht es imho einfacher:

Beweise/Wiederlege die Annahme: Aus mRn und nRm folgt m=n fuer alle m,n Element Z.

Sei m Element Z und m groesser 0 und n = -m. Dann ist wegen |m|<=|-m| mRn gegeben, und wegen |-m|<=|m| nRm geben, aber m ungleich n, also die Annahme wiederlegt.

Von Jens: Aus $|m|\le |n|\wedge |n|\le |m|$ folgt aufgrund der Antisymmetrie der Halbordnung $\le$, daß $|m|=|n|$. So ist die Definition der Kleiner-gleich-Relation, das mußt Du nicht extra beweisen.

Transitivität: $mRn\wedge nRo\Rightarrow mRo$?

$\begin{array}{cccc}& |m|& \le & |n|\\ +& |n|& \le & |o|\\ & |m|+|n|& \le & |n|+|o||-|n|\\ & |m|& \le & |o|\end{array}$

Daraus folgt, daß R transitiv ist.

Da R nur die Eigenschaften Reflexivität und Transitivität erfüllt, nicht aber die Antisymmetrie, ist R keine Halbordnung auf $\mathbb{Z}$.

Graphische Ergänzung

Orangene Linien zeigen die Reflexivität, da $2\le 2$ und $0\le 0$

Blaue Linien zeigen Transitivität, da $0\le 1$ und $1\le 2\to 0\le 2$

Rote Linien widerlegen die Antisymmetrie, da $|-2|\le 2$ und $2\le |-2|$