TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 135

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{(x^{2},{\frac {1}{x^{2}}})\ |\ x\in \mathbb {R} ^{+}\},A=B=\mathbb {R}$

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Hilfreiches

Relation

Relation

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B$. Ist $\!\ A=B$ so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von $(a,b)\in R$ schreibt man auch $\!\ aRb$, anstelle von $(a,b)\notin R$ auch $aR\!\!\!/b$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösung laut Übungsleiter Clemens Haim

Es handelt sich hier um keine Funktion.

Siehe Vorschlag von Lumpi

Lösungsvorschlag von Schnuffel (überarbeitete Version nach der Übung vom 19.11).:

lt. Def. 1.64 auf Seite 40:

Der Graph einer Funktin f: A nach B ist die Menge

$R=\{(a,f(a))\ |\ a\in {A}\}\subseteq A\times B$

dh:

$a=x^{2}$

$b=f(a)={\frac {1}{x^{2}}}$

Die Funktion sieht folgendermaßen aus:

$f:\mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R} _{+}:x^{2}\rightarrow {\frac {1}{x^{2}}}$

Untersuchung ob injektiv, surjektiv und bijektiv:

weil $\ x\in \mathbb {R} _{+}$(eindeutige Lösung weil die negativen Zahlen ja nicht enthalten sind) ist die Funktion injektiv und surjektiv sein, daraus folgt, dass die Funktion auch bijektiv ist;

Die Funktion lässt sich auch graphisch darstellen:

$f:x^{2}\rightarrow {\frac {1}{x^{2}}}$

$x^{2}=$ unabhängige Varible, kann man um das ganze zu vereinfachen zb durch z ersetzen

${\frac {1}{x^{2}}}=$ abhängige Variable, hier kann man dann durch ${\frac {1}{z}}$ ersetzen

dadurch lässt sich dann relativ einfach der Graph der Funktion zeichnen

Vorschlag von Lumpi

Achtung!

Seht euch mal die Warnung zu Beispiel 114 bzw. den Link zu dieser Forumsdiskussion an:

https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=266291

Ich möchte nicht weiter verwirren bzw. bin ich kein Mathe-Experte. (Also folgendes mit Vorsicht genießen):

Es wird nicht nur nach injektiv, surjektiv oder bijektiv gefragt, sondern auch ob R überhaupt eine Funktion ist! Das wäre lt. Buch Definition 1.64 als allererstes zu zeigen. Für eine Funktion muss es in der Teilmenge R(a,b) von AxB für alle $a\in A$ genau ein $b\in B$ geben.

Wenn man die Definition von R hier lediglich als eine Menge von Zahlen auffasst, wird "x in ${R}_{+}$" für die Abbildung A -> B irrelevant. Das wird nur gebraucht um die Menge R(a,b) zu beschreiben, nicht die Funktion. Da kommen dann für R(a,b) (a=x², b=1/x²) halt viele positive Zahlen für a und 1/a für b raus.

Da $A=B=\mathbb {R}$ gegeben ist und in allen Funktions-Relations-Definitionen die ich gefunden habe $f:A\rightarrow B$ definiert wird, gilt doch eigentlich schon von Beginn $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ wie für A = B gegeben. Das hat doch noch nichts mit der Relation R(a,b) zu tun? Das x element R+ in der Mengendefinition von R ist hier glaube ich nur verwirrend bzw. hat nichts mit A oder B oder der Abbildung zu tun.

Demnach hätte R(a,b) für a<=0 (Ich glaube, dass R+ Null nicht einschließt, ist aber nicht wichtig, sonst halt a<0) keine Werte! d.h. ist "R(a,b) mit für alle $a\in A$ genau ein $b\in B$" von vorne herein nicht gegeben weil es für Werte in A die negativ sind keine entsprechenden 'a's in R(a,b) gibt (alle a sind Positiv, d.h. nur R+). Also ist die Definition für eine Funktion nicht erfüllt! Das Ganze mag für A=B=R+ bijektiv sein, für A=B=R allgemein ist es aber nichtmal eine Funktion!

Das wird umso logischer, wenn man sich Beispiel 113 ansieht, wo die selbe Angabe mit A=B=R+ gefragt ist!

Wie gesagt, keine Gewähr. Falls es jemand besser weis bzw. ich die Def. einer Funktion falsch gelesenhab, bitte korrigiert mich. Und zwar gleich! Ich hab schon so einen Horror davor das Beispiel an der Tafel zu erklären.

Anmerkung von m4rS

Lumpi hat Recht, das ganze ist keine Funktion sondern eine Fangfrage ;), da der Menge der $\mathbb {R} ^{-}$ keine Werte zugeordnet werden.