TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 14

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{j=1}^{n}j*3^{j-1}={\frac {3^{n}*(2n-1)+1}{4}}\qquad n\geq 1$

Induktionsanfang: $n=1$ ergibt

Linke Seite: $1*3^{1-1}=1$

Rechte Seite: ${\frac {3^{1}*(2*1-1)+1}{4}}={\frac {4}{4}}=1$

OK.

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

(Alle n durch n+1 ersetzt)

$\sum _{j=1}^{n+1}j*3^{j-1}={\frac {3^{n+1}*(2(n+1)-1)+1}{4}}$

Die weitere Auflösung der rechten Seite ergibt:

${\frac {3^{n+1}*(2n+1)+1}{4}}$

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsbehauptung)

Die rechte $(n+1)*3^{n}$ zu addieren. Es soll sich ergeben:

${\frac {3^{n+1}*(2n+1)+1}{4}}$

${\frac {3^{n}*(2n-1)+1}{4}}+(n+1)*3^{n}=$

$={\frac {3^{n}*(2n-1)+1+4(n+1)*3^{n}}{4}}=$

Wir heben $3^{n}$ hervor:

$={\frac {3^{n}*((2n-1)+4(n+1))+1}{4}}=$

$={\frac {3^{n}*(2n-1+4n+4)+1}{4}}=$

$={\frac {3^{n}*(6n+3)+1}{4}}=$

$={\frac {3*3^{n}*(2n+1)+1}{4}}=$

$={\frac {3^{n+1}*(2n+1)+1}{4}}$

Q.e.d.