TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 14

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Man beweise mittels vollständiger Induktion:

 \sum_{j=1}^n j*3^{j-1} = \frac{3^{n}*(2n-1) + 1}{4} \qquad n \geq 1

Induktionsanfang:  n = 1 ergibt

Linke Seite:  1*3^{1-1} = 1

Rechte Seite:  \frac{3^{1}*(2*1-1) + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1

OK.


Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

(Alle n durch n+1 ersetzt)

 \sum_{j=1}^{n+1} j*3^{j-1} = \frac{3^{n+1}*(2(n+1)-1) + 1}{4}

Die weitere Auflösung der rechten Seite ergibt:

 \frac{3^{n+1}*(2n+1) + 1}{4}


Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsbehauptung)

Die rechte  (n+1)*3^n zu addieren. Es soll sich ergeben:

 \frac{3^{n+1}*(2n+1)+1}{4}


 \frac{3^{n}*(2n-1) + 1}{4} + (n+1)*3^n =

 = \frac{3^{n}*(2n-1) + 1 + 4(n+1)*3^n }{4} =

Wir heben  3^n hervor:

 = \frac{3^{n}*((2n-1) + 4(n+1)) + 1 }{4} =

 = \frac{3^{n}*(2n-1 + 4n + 4) + 1 }{4} =

 = \frac{3^{n}*(6n + 3) + 1 }{4} =

 = \frac{3*3^{n}*(2n + 1) + 1 }{4} =

 = \frac{3^{n+1}*(2n + 1) + 1 }{4}

Q.e.d.