TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 12

Ist $L_{0}=2$ , $L_{1}=1$ und $L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , so gilt
$L_{n}=\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]$

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}}

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Induktionsvoraussetzung
$L_{n}=[({1+{\sqrt {5}} \over 2})^{n}-({1-{\sqrt {5}} \over 2})^{n}]$ für $n\in \mathbb {N}$
in weiterer Folge verwende ich:
$({1+{\sqrt {5}} \over 2})=a$
$({1-{\sqrt {5}} \over 2})=b$

$L_{n}=[a^{n}-b^{n}]$
Induktionsbehauptung $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
Induktionsanfang
$L_{0}=(a^{0}+b^{0})=(1+1)=2$
$L_{1}=(a^{1}+b^{1})=[({1+{\sqrt {5}} \over 2})^{1}+({1-{\sqrt {5}} \over 2})^{1}]=[({1+{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5}} \over 2})]=1$

Induktionsschluss
(I) $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
(II) $L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}=[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^{n}+b^{n}]$
Kommentar: Hier ist ein Fehler, hier wird aus der Induktionsbehauptung eingesetzt um sie zu beweisen. Siehe Diskussion.
$[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^{n}+b^{n}]=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
auflösen
$a^{n+1}+b^{n+1}+a^{n}+b^{n}=a^{n+2}+b^{n+2}$

umformen

$a^{n}+a^{n+1}-a^{n+2}=-b^{n}-b^{n+1}+b^{n+2}$

$a^{n}$ bzw. $b^{n}$ herausheben

$a^{n}(1+a-a^{2})=b^{n}(-1-b+b^{2})$

Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: $a^{n}(1+a-a^{2})$
rechte Seite: $b^{n}(-1-b+b^{2})$

linke Seite: wir betrachten nur $(1+a-a^{2})$ und setzen ein:
$[1+({1+{\sqrt {5}} \over 2})-({1+{\sqrt {5}} \over 2})^{2}]={4+2+2{\sqrt {5}}-1-2{\sqrt {5}}-5 \over 4}=0$

rechte Seite: wir betrachten nur $(-1-b+b^{2})$ und setzen ein:
$[-1-({1-{\sqrt {5}} \over 2})+({1-{\sqrt {5}} \over 2})^{2}]={-4-2+2{\sqrt {5}}+1-2{\sqrt {5}}+5 \over 4}=0$

$a^{n}*0=b^{n}*0$

$0=0$

q.e.d.