TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 41

Aufgabe

Ist $F_0=0$,$F_1=1$ und $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$, so gilt

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$

Lösung

Induktionsvoraussetzung
$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$ für $n\in \mathbb{N}$
in weiterer Folge verwende ich:
$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=a$
$\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)=b$

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[a^n-b^n]$
Induktionsbehauptung $F_{n+2}=\frac{1}{\sqrt{5}}[a^{n+2}-b^{n+2}]$
Induktionsanfang
$F_0=\frac{1}{\sqrt{5}}(a^0-b^0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1-1)=0$
$F_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(a^1-b^1)=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^1-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^1]=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}\right)\right]=1$

Induktionsschluss
(I) $F_{n+2}=\frac{1}{\sqrt{5}}[a^{n+2}-b^{n+2}]$
(II) $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[a^{n+1}-b^{n+1}]+\frac{1}{\sqrt{5}}[a^n-b^n]$

$\frac{1}{\sqrt{5}}[a^{n+1}-b^{n+1}]+\frac{1}{\sqrt{5}}[a^n-b^n]=\frac{1}{\sqrt{5}}[a^{n+2}-b^{n+2}]$
kürzen von $\frac{1}{\sqrt{5}}$.
$a^n-b^n+a^{n+1}-b^{n+1}=a^{n+2}-b^{n+2}$

umformen

$a^n+a^{n+1}-a^{n+2}=b^n+b^{n+1}-b^{n+2}$

$a^n$ bzw. $b^n$ herausheben

$a^n(1+a-a^2)=b^n(1+b-b^2)$

Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: $a^n(1+a-a^2)$
rechte Seite: $b^n(1+b-b^2)$

linke Seite: wir betrachten nur $(1+a-a^2)$ und setzen ein:
$[1+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2]=\frac{4+2+2\sqrt{5}-6+2\sqrt{5}}{4}=0$

rechte Seite: wir betrachten nur $(1+b-b^2)$ und setzen ein:
$[1+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2]=\frac{4+2-2\sqrt{5}-6+2\sqrt{5}}{4}=0$

$a^n\ast 0=b^n\ast 0$

$0=0$

q.e.d.

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