TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 42

Aufgabe

Ist $L_0=2$,$L_1=1$ und $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$, so gilt

$L_n={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$

Lösung

Induktionsvoraussetzung
$L_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$ für $n\in \mathbb{N}$
in weiterer Folge verwende ich:
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=a$
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}=b$

$L_n=[a^n-b^n]$
Induktionsbehauptung $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
Induktionsanfang
$L_0=(a^0+b^0)=(1+1)=2$
$L_1=(a^1+b^1)={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^1+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^1=\left(\frac{1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}}{2}\right)=1$

Induktionsschluss
(I) $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
(II) $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n=[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^n+b^n]$

$[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^n+b^n]=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
auflösen
$a^{n+1}+b^{n+1}+a^n+b^n=a^{n+2}+b^{n+2}$

umformen

$a^n+a^{n+1}-a^{n+2}=-b^n-b^{n+1}+b^{n+2}$

$a^n$ bzw. $b^n$ herausheben

$a^n(1+a-a^2)=b^n(-1-b+b^2)$

Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: $a^n(1+a-a^2)$
rechte Seite: $b^n(-1-b+b^2)$

linke Seite: wir betrachten nur $(1+a-a^2)$ und setzen ein:
$1+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2=\frac{4+2+2\sqrt{5}-1+2\sqrt{5}-5}{4}=0$

rechte Seite: wir betrachten nur $(-1-b+b^2)$ und setzen ein:
$-1-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2=\frac{-4-2+2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}+5}{4}=0$

$a^n\ast 0=b^n\ast 0$

$0=0$

q.e.d.

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