Aufgabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist $L_{0}=2$ , $L_{1}=1$ und $L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , so gilt

$L_{n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}$

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Induktionsvoraussetzung
$L_{n}={1 \over {\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right]$ für $n\in \mathbb {N}$
in weiterer Folge verwende ich:
${1+{\sqrt {5}} \over 2}=a$
${1-{\sqrt {5}} \over 2}=b$

$L_{n}=[a^{n}-b^{n}]$
Induktionsbehauptung $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
Induktionsanfang
$L_{0}=(a^{0}+b^{0})=(1+1)=2$
$L_{1}=(a^{1}+b^{1})=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{1}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{1}=\left({1+{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)=1$

Induktionsschluss
(I) $L_{n+2}=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
(II) $L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}=[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^{n}+b^{n}]$

$[a^{n+1}+b^{n+1}]+[a^{n}+b^{n}]=[a^{n+2}+b^{n+2}]$
auflösen
$a^{n+1}+b^{n+1}+a^{n}+b^{n}=a^{n+2}+b^{n+2}$

umformen

$a^{n}+a^{n+1}-a^{n+2}=-b^{n}-b^{n+1}+b^{n+2}$

$a^{n}$ bzw. $b^{n}$ herausheben

$a^{n}(1+a-a^{2})=b^{n}(-1-b+b^{2})$

Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: $a^{n}(1+a-a^{2})$
rechte Seite: $b^{n}(-1-b+b^{2})$

linke Seite: wir betrachten nur $(1+a-a^{2})$ und setzen ein:
$1+\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)-\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{2}={4+2+2{\sqrt {5}}-1+2{\sqrt {5}}-5 \over 4}=0$

rechte Seite: wir betrachten nur $(-1-b+b^{2})$ und setzen ein:
$-1-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{2}={-4-2+2{\sqrt {5}}+1+2{\sqrt {5}}+5 \over 4}=0$

$a^{n}*0=b^{n}*0$

$0=0$

q.e.d.