TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS09/Beispiel 24

Man zeige für alle $n\in \mathbb {N} \backslash \{0\}:\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}=a_{n}\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n-1}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$

Lösungsvorschlag

Hier ein Lösungsvorschlag, nachdem dieses Beispiel bislang noch keine Lösung hat.

Induktionsanfang

n=1

$\sum _{k=1}^{1}{a_{k}b_{k}}=a_{1}\sum _{k=1}^{1}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{0}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$

$a_{1}b_{1}=a_{1}b_{1}$

n=2

$\sum _{k=1}^{2}{a_{k}b_{k}}=a_{2}\sum _{k=1}^{2}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{1}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=a_{2}(b_{1}+b_{2})-[(a_{2}-a_{1})b_{1}]$

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=a_{2}b_{1}+a_{2}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{1}b_{1}$

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$

Induktionsschritt

Die Beziehung $\sum _{k=1}^{n+1}{a_{k}b_{k}}=a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$ ist zu zeigen.

Aus der Induktionsvoraussetzung können wir weiters: $a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}=(a_{n+1}b_{n+1})+a_{n}\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n-1}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$ setzen.

Umformungen und Indexverschiebungen

1. Indexverschiebung (mit erstem Teil der Gleichung):

$a_{n}\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}=a_{n}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-a_{n}b_{n+1}$

2. Indexverschiebung (mit zweitem Teil der Gleichung):

$\sum _{k=1}^{n-1}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}=\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}-(a_{n+1}-a_{n})\sum _{k=1}^{n}{b_{j}}$

3. Einsetzen in die Gesamtgleichung:

$(a_{n+1}b_{n+1})+a_{n}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-a_{n}b_{n+1}-\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}+(a_{n+1}-a_{n})\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}$

4. Ausmultiplizieren und umformen, um die Terme, die sich wegheben deutlich zu machen:

$a_{n}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-a_{n}\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}+(a_{n+1}b_{n+1})-a_{n}b_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$

$a_{n}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-a_{n}\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}$ hebt sich bis auf den Term $a_{n}b_{n+1}$ weg. Somit vereinfacht sich der Term zu:

$a_{n}b_{n+1}-a_{n}b_{n+1}+a_{n+1}b_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^{n}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$

Und Schlussendlich: $a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}=a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b_{k}}-\sum _{k=1}^{n}{[(a_{k+1}-a_{k})\sum _{j=1}^{k}{b_{j}}]}$. Q.E.D.

--W1n5t0n 13:44, 14. Jun. 2009 (CEST)