TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 27

Zeigen Sie, dass $\sqrt{6}$ irrational ist!

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

Beweis durch Widerspruch:

• Annahme: $\sqrt{6}$ ist eine rationale Zahl
• Vorraussetzung: $\sqrt{6}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, wobei $p,q\in \mathbb{Z},q>0,ggT(p,q)=1$ (Diese Eigenschaft wollen wir verletzen)

$6=\frac{p^2}{q^2}$

$p^2=6q^2$

(6 dargestellt durch Primfaktorenzerlegung)

$p^2=2\ast (3q^2)$ $\Rightarrow p^2$ ist gerade ($2\ast x$ ist per Definition gerade) $\Rightarrow p$ ist gerade (nur eine gerade Zahl kann mit sich selbst multipliziert ein gerades Ergebnis haben)

$(2m{)}^2=2\ast (3q^2)$

$4m^2=2\ast (3q^2)$ /:2

$2m^2=3q^2\Rightarrow q^2$ ist gerade (wie bei $p^2$) $\Rightarrow q$ ist gerade (der Multiplikator 3 ist ungerade, also muss $q$ selbst gerade sein damit die rechte Seite gerade ist)

Da $p$ und $q$ beide gerade sind ($2\ast x$) kann ihr größter gemeinsamer Teiler NICHT 1 sein $\Rightarrow$ Widerspruch zur Vorraussetzung

Bemerkung: selbe Vorgangsweise für restliche Beispiele --Pie3 17:14, 5. Mai 2011 (CEST)

---

Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005