TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 388

Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{2}$:

${\begin{array}{rcrcrcrl}3x_{1}&+&x_{2}&-&2x_{3}&+&x_{4}&=2\\x_{1}&+&x_{2}&-&x_{3}&-&x_{4}&=1\\5x_{1}&+&x_{2}&-&3x_{3}&+&3x_{4}&=1\end{array}}$

Hilfreiches

LGS-Äquivalenzumformungen

LGS-Äquivalenzumformungen

Allgemein gilt:

Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

• Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
• Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor $\neq 0$,
• Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.

Lösungsvorschlag von m0mo

1. Schritt: Da wir uns in den Restklassen befinden können wir hier ein wenig kürzen!

  3  1 -2  1 | 2   
  1  1 -1 -1 | 1
  5  1 -3  3 | 1

-->

  1  1  0  1 | 0   
  1  1 -1 -1 | 1
  1  1 -1  1 | 1

2. Schritt: z2-z1 und z3-z1

  1  1  0  1 | 0   
  0  0 -1 -2 | 1
  0  0 -1 -2 | 1

-->

  1  1  0 1 | 0   
  0  0 -1 0 | 1
  0  0 -1 0 | 1

3. Schritt: z3-z2

  1  1  0 1 | 0   
  0  0 -1 0 | 1
  0  0  0 0 | 0

4. Schritt: vertauschen der Spalten x2 und x3

  1  0 1 1 | 0   
  0 -1 0 0 | 1
  0  0 0 0 | 0

Falls kein Rechenfehler unterlaufen ist, ist das Gleichungssystem nicht lösbar. (?)

Wie wir sehen ist zwar x3 berechenbar mit x3 = -1 jedoch x2 und x4 zum berrechnen von x1 sind nicht eindeutig!

x1 = -(x2+x4) x2 und x4 sind unbekannt!

Majohannsen: ich glaube das ist schon lösbar, es hat nur mehrere Lösungen.

5. Schritt: in $\mathbb {Z} _{2}$ ist -1 = 1, die dritte Zeile enthält keine Informationen und kann daher weg gelassen werden.

  1 0 1 1 | 0   
  0 1 0 0 | 1

6. Schritt: Jetzt können wir die Lösungen ablesen, da wir vorne eine Einheitsmatrix haben.

     0          1          1

     1          0          0
${\vec {x}}$ =     + $t_{1}$ *      + $t_{2}$ *             $t_{1},t_{2}\in \mathbb {Z} _{2}$
     0          1          0

     0          0          1

(sorry für die hässliche Schreibweise, das sollen Spaltenvektoren sein.)

Links

• Wikipädia:
  • Gauß'sches Eliminationsverfahren
  • Lineares Gleichungssystem
  • Äquivalenzumformung

• Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 387, 389 - 396