TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 44

Für welche komplexen Zahlen gilt ${\overline {z}}={\frac {1}{z}}$?

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Hilfreiches

Konjugation einer komplexen Zahl

Konjugation einer komplexen Zahl

Bei der Konjugation einer komplexen Zahl wird der Imaginärteil invertiert.

• Kartesische Darstellung: $z=(a,{\mathsf {i}}b)\;\Rightarrow \;{\overline {z}}=(a,-{\mathsf {i}}b)$
• Polardarstellung: $z=[r,\varphi ]\;\Rightarrow \;{\overline {z}}=[r,-\varphi ]$

Division komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $\longrightarrow$ Polar-Darstellung: $\;(a,{\mathsf {i}}b)\;\rightarrow \;[r,\varphi ]:$

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

$\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&a>0\qquad {\text{(I., IV. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &a<0,b>0\quad {\text{(II. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &a<0,b<0\quad {\text{(III. Quadrant)}}\end{cases}}$

• Polare $\longrightarrow$ kartesische Darstellung: $\;[r,\varphi ]\;\rightarrow \;(a,{\mathsf {i}}b):\quad {\begin{cases}a=r\cdot \cos \varphi \\b=r\cdot \sin \varphi \end{cases}}$

Lösung von Baccus

Einfache Lösung in Polardarstellung:

${\bar {z}}$ ist die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl, d.h.:

$z=a+bi=(a,b)=[r,\varphi ]\Longrightarrow$

${\bar {z}}=a-bi=(a,-b)=[r,-\varphi ]$.

$1/z={\frac {[1,0]}{[r,\varphi ]}}=[1/r,0-\varphi ]$ (Rechenregel: Division in Polardarstellung).

Aufgabe war: ${\bar {z}}=1/z$:

Radius: ${\begin{cases}r_{\bar {z}}=r\\r_{1/z}=1/r\end{cases}}\Rightarrow r=1/r\Longrightarrow r=1$

Winkel: ${\begin{cases}\varphi _{\bar {z}}=-\varphi \\\varphi _{1/z}=-\varphi \end{cases}}\Rightarrow -\varphi =-\varphi$, d.h. keine Einschränkungen für $\varphi$.

Fazit: $z$ muß bei beliebigem Phasenwinkel $\varphi$ den Radius $r$ = 1 haben (d.h. auf dem Einheitskreis liegen).

--Baccus 05:33, 26. Nov 2006 (CET)

Lösung von mnemetz

Als z' bezeichne ich die konjugiert komplexe von z.

z' = 1/z

a - bi = 1/(a + bi) | *(a + bi)

(a - bi) * (a + bi) = 1

a^2 + abi -abi - (bi)^2 = 1

a^2 - b^2*i^2 = 1

a^2 + b^2 = 1

a^2 + b^2 ist der Betrag von z.

Also gilt z' = 1/z wenn |z| = 1.

EDIT: sqrt(a² + b²) ist der Betrag von z.

Lösung von Hapi

${\bar {Z}}$ = 1/Z

Welche komplexen Zahlen werdern dadurch repräsentiert?

${\bar {Z}}$ (Z mit Querstrich darüber) bedeutet die konjugiert komplexe Zahl von Z, dh:

${\bar {Z}}$ = a - bi und Z = a + bi , (Real und Imaginärteil).

Ausmultipliziert lautet der Term:

${\bar {Z}}$ * Z = 1 = (a – bi)*(a + bi) = (a² + b²) = 1

${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ = 1 = |Z|, = (Radius des Vektors)

Formel Z = |Z| * (cos$\phi$ -i.sin$\phi$), = Polarkoordianten [1,$\phi$]

cos $\phi$ = |Z| /a,

sin $\phi$ = |Z| /b

Das bedeutet, daß $\phi$ jeden Wert zwischen 0 und 2$\pi$ annehmen kann, der wegen der Radiuslänge 1 auf dem Einheitskreis liegt.

Hapi

Lösung von Thomas

Die einfachste Lösung aus dem SS09:

${\overline {z}}={\frac {1}{z}}\qquad \qquad //\ast z$

${\overline {z}}\ast z=1\qquad //{\overline {z}}\ast z=\left\vert z\right\vert ^{2}$

$\Longrightarrow \left\vert z\right\vert ^{2}=1$

$\Longrightarrow \left\vert z\right\vert =1$

Thomas

Links

• Diskussion im UE-Forum

Wikipädia:

• Komplexe Zahlen
• Konjugiert komplexe Zahlen
• Division von komplexen Zahlen