TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS09/Beispiel 407

Lösung von Thomas (aka anwesender)

wem das PDF-Format lieber ist: Bsp 407 als PDF-Download

Zuerst mal die Angabe: Rang über $ℝ$ bestimmen ($n\ge 1$)

$\left(\begin{array}{ccccc}2& 6& 10& \cdots & 4n-2\\ 6& 10& 14& & 4n+2\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 4n-2& 4n+2& \cdots & & 8n-6\end{array}\right)$

So, nun zur 1. Umformung: $\left(\begin{array}{ccccc}2& 6& 10& \cdots & 4n-2\\ 6& 10& 14& & 4n+2\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 4n-2& 4n+2& \cdots & & 8n-6\end{array}\right):z_{n\ge 2}\to z_n-z_1(2n-1)$

bei der folgendes herauskommt: $\left(\begin{array}{ccccc}2& 6& 10& \cdots & 4n-2\\ 0& -8& -16& & -8(n-1)\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 0& -8(n-1)& \cdots & & -8(n-1{)}^2\end{array}\right):z_{n\ge 2}\to z_n-z_2(n-1)$

und daraus resultiert: $\left(\begin{array}{ccccc}2& 6& 10& \cdots & 4n-2\\ 0& -8& -16& & -8(n-1)\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & & 0\end{array}\right)$

um es ein bisschen zu erkennen, vergrößere ich die Matrix noch um eine Zeile: $\left(\begin{array}{cccccc}2& 6& 10& 14& \cdots & 4n-2\\ 0& -8& -16& -24& & -8(n-1)\\ 0& 0& 0& 0& & 0\\ ⋮& & & & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

und bei der sollte man dann zur Erleuchtung kommen, der Rang besteht aus allen Zeilen, bei denen die Zeilen $\ne 0$ sind. d.h. $rg\left(\begin{array}{ccccc}2& 6& 10& \cdots & 4n-2\\ 6& 10& 14& & 4n+2\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 4n-2& 4n+2& \cdots & & 8n-6\end{array}\right)=rg\left(\begin{array}{cccccc}2& 6& 10& 14& \cdots & 4n-2\\ 0& -8& -16& -24& & -8(n-1)\\ 0& 0& 0& 0& & 0\\ ⋮& & & & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)=2$

Thomas --Anwesender 14:17, 16. Jun. 2009 (CEST)