TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 48

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

${\frac {|z+4|}{|z-4|}}<3$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Nützliches und Hilfreiches

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
  Kreisgleichung:                    r  = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

siehe auch Beispiel 71

Umrechnung komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $\longrightarrow$ Polar-Darstellung: $\;(a,{\mathsf {i}}b)\;\rightarrow \;[r,\varphi ]:$

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

$\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&a>0\qquad {\text{(I., IV. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &a<0,b>0\quad {\text{(II. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &a<0,b<0\quad {\text{(III. Quadrant)}}\end{cases}}$

• Polare $\longrightarrow$ kartesische Darstellung: $\;[r,\varphi ]\;\rightarrow \;(a,{\mathsf {i}}b):\quad {\begin{cases}a=r\cdot \cos \varphi \\b=r\cdot \sin \varphi \end{cases}}$

Lösung von Zombie69

In Bezug auf die oben erwähnten nützlichen Tatsachen kann man schreiben:

${\frac {\sqrt {(a+4)^{2}+b^{2}}}{\sqrt {(a-4)^{2}+b^{2}}}}<3$

Das ganze mit ${\sqrt {(a-4)^{2}+b^{2}}}$ multipliziert und $(a-4)^{2}$ gleich aufgelöst, ergibt:

${\sqrt {a^{2}+8a+16+b^{2}}}<3{\sqrt {a^{2}-8a+16+b^{2}}}$

Quadriert:

$a^{2}+8a+16+b^{2}<9(a^{2}-8a+16+b^{2})$

Klammer ausmultipliziert:

$a^{2}+8a+16+b^{2}<9a^{2}-72a+144+9b^{2}$

Die rechte Seite vom Ganzen abziehen:

$a^{2}-9a^{2}+72a+8a+16-144+b^{2}-9b^{2}<0$     

daraus wird dann das:

$-8a^{2}+80a-128-8b^{2}<0$

Alles mit $-{\frac {1}{8}}$ multiplizeren: (zu beachten: bei multiplikation mit -1 bzw. -(1/8) wird der Vergleichsoperator verändert - < $\rightarrow$ >)

$a^{2}-10a+16+b^{2}>0$

Hier wird jetzt auf ein vollständiges Quadrat ergänzt, darum die -9 hinten (25-9=16):

$a^{2}-10a+25+b^{2}-9>0$

Jetzt wird das vollständige Quadrat angeschrieben:

$a^{2}-10a+25=(a-5)^{2}$

Was hier noch gemacht wird ist die -9 auf die rechte Seite bringen und als $3^{2}$ anschreiben

$(a-5)^{2}+b^{2}>3^{2}$

weil $(a-5)^{2}+b^{2}=\left|z-5\right|^{2}$ :

$\left|z-5\right|^{2}>3^{2}$

woraus folgt:

$\left|z-5\right|>3$    (I)

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die (I) erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius $(x-5)^{2}+b^{2}$ vor dessen Mittelpunkt auf der Zahl 5 liegt vor. Alle komplexen Zahlen, die NICHT in dem Kreis liegen sind die die Lösungsmenge.

superphil0: Der Radius ist 3!!! __________

Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie69.

Hapi

Alternative Lösung ohne Umweg über $z=a+bi$

${\frac {|z+4|}{|z-4|}}<3$

$|z+4|<3*|z-4|$

1. Ansatz $|z|^{2}=z*{\bar {z}}$

$|z+4|^{2}<9*|z-4|^{2}$

$(z+4)*({\bar {z}}+4)<9(z-4)({\bar {z}}-4)$

$(z+4)*({\bar {z}}+4)<9(z-4)({\bar {z}}-4)$

Ausmultiplizieren:

$z*{\bar {z}}+4*{\bar {z}}+4z+16<9z*{\bar {z}}-36*{\bar {z}}-36z+144$

Umformen und gleich durch 8 dividieren:

$z*{\bar {z}}-5*{\bar {z}}-5*z+16>0$

Auf ein vollständiges Quadrat bringen:

$z*{\bar {z}}-5*{\bar {z}}-5*z+25-9>0$

$|z-5|^{2}-9>0$

Umformen:

$|z-5|^{2}>9$

Wurzln und siehe da gleiches Ergebnis wie oben!

$|z-5|>3$

Wäre das nicht ein Lösungskandidat, und keine fixe Lösung? (Aufgrund der quadrierung)