TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 60
Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit:
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Restklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Restklassen modulo :
Lösungsversuch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Rechnen mit Kongruenzen
Allgemeines:
Modulo teilt Werte in Restklassen durch Division mit dem Mod-Wert e, d.h. beide Werte haben bei der Division durch den Faktor m (Modulo) denselben Rest.
a b mod m bedeutet daher bei Bestehen der Kongruenz daß a/m und b/m denselben Rest haben. Daraus folgt, daß m | (b-c) gilt und somit m den Term (b-c) ohne Rest teilt (sonst nicht kongruent!).
Weiters bedeutet 3a 3b mod m dasselbe wie a b mod m, man kann also die linke Seite des Ausdrucks um den gemeinsamen Teiler kürzen, wenn auf der rechten Seite m nicht teilbar ist.
Ist m aber ebenfalls teilbar, so lautet die Rechenregel 3a 3b mod 3m entspricht a b mod m, d.h. auch m muß dividiert werden.
Eine Kongruenz der Form ax b ist genau dann lösbar, wenn der ggT (a, m ) die Zahl c teilt.
a)
Modulo 3 bedeutet, daß die Restklassen 0,1 und 2 vorliegen. Jetzt kann man einfach die Produkte dieser Restklassen in einer Tabelle ausrechenen oder nur die Produkte:
0 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4 = 1
Somit hat man die Lösung, denn die Produkte welcher Restklassen ergeben die Restklasse 1? Restklasse 1 und 2.
In diesem Fall: x1 = 1 + 3k {k = 0 ... }, x2 = 2 + 3k {k = 0 ... } (Für ganze Zahlen 1 3k bzw. 2 3k)
b)
Modulo 5 bedeutet, daß die Restklassen 0,1,2,3 und 4 vorliegen. Jetzt kann man einfach die Produkte dieser Restklassen in einer Tabelle ausrechenen oder nur die Produkte:
0 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9 = 4, 4 * 4 = 16 = 1
Somit hat man die Lösung, denn die Produkte welcher Restklassen ergeben die Restklasse 1? Restklasse 1 und 4.
In diesem Fall: x1 = 1 + 5k {k = 0 ... }, x2 = 4 + 5k {k = 0 ... (Für ganze Zahlen 1 5k bzw. 4 5k)
Hapi