TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 62
Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit!
Vorbereitende Vereinfachungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Allgemeines zur Zerlegung in Linearfaktoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Idee: Da die Lösung dieser Aufgabe mit einer quadratischen Gleichung, die in die Form (xf)(xg) viel einfacher ist, möchten wir die vorliegende quadratische Gleichung in Linearfaktoren zerlegen.
Es gilt dabei folgender Zerlegungssatz:
Der quadratische Term
lässt sich genau dann in die Linearfaktoren
zerlegen, wenn die quadratische Gleichung
in lösbar ist und die Zahlen und als Lösungen hat.
Anmerkungen:
- Der Satz gilt auch, wenn , d.h. wenn die Gleichung nur eine Lösung hat.
- Mit "in lösbar" ist auch gemeint, dass die Diskriminante (s. weiter unten) einen entsprechenden reellen Wert hat.
Isolierung der Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die gegebene quadratische Gleichung
stellen wir allgemeiner wie folgt dar:
a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:
- a=1
- b=-3
- c=2
Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sonderform: Satz von Vieta als Lösungsformel f. quadratische Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Division durch auf die sogenannte Normalform bringen, mit folgt .
Damit lautet der Satz von Vieta: Zwischen den Lösungen und den Koeffizienten der quadratischen Gleichung in Normalform besteht folgender Zusammenhang: und .
Betrachtung der Diskriminante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Diskriminante (D) ist . Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in oder zu erwarten sind.
Wenn gilt:
- D > 0 verschiedene reelle Lösungen
- D = 0 genau eine Lösung
- D < 0 keine reelle Lösung
Unsere Diskriminante beträgt 1, daher werden wir zwei reelle Lösungen erwarten!
Berechnung der Lösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- a=1
- b=-3
- c=2
Damit kann ich die Gleichung zerlegen in:
(Zerlegung in Linearfaktoren - https://web.archive.org/web/20180817161625/http://www.mathematik.net/quadratische-gleichungen/q11s10.htm ) --Mnemetz 22:19, 15. Nov 2005 (CET)
Beispiel 62a[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zunächst vereinfachen wir den linken Term mal ...
Da nullteilerfrei ist, gilt hier oder
Nullteilerfreiheit liegt dann vor, wenn eine weitere Zerlegung in Primfaktoren nicht mehr möglich ist. Beispiel: 5 kann ich nicht zerlegen, 6 schon - in 2*3.
Somit haben wir:
Beispiel 62b[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
ist nicht nullteilerfrei, hier ist zusätzlich und
Damit sind die Lösungen der Gleichung nicht nur und , sondern auch noch und
Entweder sieht man, das (x-1)(x-2) genau die Form 3*2 bzw. 4*3 für x-1 = 3 bzw. x-1 = 4, also x = 4 bzw. x = 5 hat, oder man probiert die möglichen Kongruenzen 0, 1, 2, 3, 4 und 5 einfach aus. Dann sieht man, dass genau x = 4 und x = 5 die Gleichung erfüllen.
Da: