TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 62

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Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit!

 a) \qquad x^2 - 3x + 2 \equiv 0 \text{ (mod 5)}

 b) \qquad x^2 - 3x + 2 \equiv 0 \text{ (mod 6)}

Vorbereitende Vereinfachungen[edit]

Allgemeines zur Zerlegung in Linearfaktoren[edit]

Idee: Da die Lösung dieser Aufgabe mit einer quadratischen Gleichung, die in die Form (x\pmf)(x\pmg) viel einfacher ist, möchten wir die vorliegende quadratische Gleichung in Linearfaktoren zerlegen.

Es gilt dabei folgender Zerlegungssatz:


Der quadratische Term

ax^2+bx+c \qquad \forall a,b,c \in \mathbb{R}, a \neq 0

lässt sich genau dann in die Linearfaktoren

a(x-x_1)(x-x_2)

zerlegen, wenn die quadratische Gleichung

 ax^2+bx+c=0

in  \mathbb{R} lösbar ist und die Zahlen  x_1 und  x_2 als Lösungen hat.


Anmerkungen:

  1. Der Satz gilt auch, wenn x_1=x_2, d.h. wenn die Gleichung nur eine Lösung hat.
  2. Mit "in  \mathbb{R} lösbar" ist auch gemeint, dass die Diskriminante (s. weiter unten) einen entsprechenden reellen Wert hat.

Isolierung der Koeffizienten[edit]

Die gegebene quadratische Gleichung

 x^2 - 3x + 2 = 0

stellen wir allgemeiner wie folgt dar:

 ax^2 - bx + c = 0

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:

  • a=1
  • b=-3
  • c=2


Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen[edit]

z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}


Sonderform: Satz von Vieta als Lösungsformel f. quadratische Gleichungen[edit]

Jede quadratische Gleichung  ax^{2}+bx+c=0 lässt sich durch Division durch  a\neq 0 auf die sogenannte Normalform  x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 bringen, mit  p=\frac{b}{a}, q=\frac{c}{a} folgt x^{2}+px+q=0 .

Damit lautet der Satz von Vieta: Zwischen den Lösungen  x_{1},\  x_{2} und den Koeffizienten der quadratischen Gleichung in Normalform  x^{2}+px+q=0 besteht folgender Zusammenhang:  p=-\left( x_{1}+x_{2}\right) und  q=x_{1}x_{2} .

Betrachtung der Diskriminante[edit]

Die Diskriminante (D) ist  b^2 - 4ac . Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in \mathbb{R} oder \mathbb{C} zu erwarten sind.

Wenn gilt:

  • D > 0 \Rightarrow verschiedene reelle Lösungen
  • D = 0 \Rightarrow genau eine Lösung
  • D < 0 \Rightarrow keine reelle Lösung

Unsere Diskriminante beträgt 1, daher werden wir zwei reelle Lösungen erwarten!


Berechnung der Lösungen[edit]

  • a=1
  • b=-3
  • c=2

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a} \Rightarrow \qquad \frac{3 \pm \sqrt{(9 - 8)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{(1)}}{2}

x_1 = \frac{3 + \sqrt{(1)}}{2} = 2

x_2 = \frac{3 - \sqrt{(1)}}{2} = 1

Damit kann ich die Gleichung zerlegen in:

 x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)

(Zerlegung in Linearfaktoren - https://web.archive.org/web/20180817161625/http://www.mathematik.net/quadratische-gleichungen/q11s10.htm ) --Mnemetz 22:19, 15. Nov 2005 (CET)

Beispiel 62a[edit]

Zunächst vereinfachen wir den linken Term mal ...

 x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)

Da Z_5 nullteilerfrei ist, gilt hier  x \equiv 1 \text{ mod 5 } oder  x \equiv 2 \text{ mod 5 }

Nullteilerfreiheit liegt dann vor, wenn eine weitere Zerlegung in Primfaktoren nicht mehr möglich ist. Beispiel: 5 kann ich nicht zerlegen, 6 schon - in 2*3.

Somit haben wir:

 L_1 = \{ -9, -4, 1, 6, 11 ... \}

 L_2 = \{ -8, -3, 2, 7, 12 ... \}


Beispiel 62b[edit]

Z_6 ist nicht nullteilerfrei, hier ist zusätzlich  3*2 \equiv 0 \text{ mod 6 } und  4*3 \equiv 0 \text{ mod 6 }

Damit sind die Lösungen der Gleichung nicht nur  x \equiv 1 \text{ mod 6 } und  x \equiv 2 \text{ mod 6} , sondern auch noch  x \equiv 4 \text{ mod 6} und  x \equiv 5 \text{ mod 6}

Entweder sieht man, das (x-1)(x-2) genau die Form 3*2 bzw. 4*3 für x-1 = 3 bzw. x-1 = 4, also x = 4 bzw. x = 5 hat, oder man probiert die möglichen Kongruenzen 0, 1, 2, 3, 4 und 5 einfach aus. Dann sieht man, dass genau x = 4 und x = 5 die Gleichung erfüllen.


 L_1 = \{ -11, -5, 1, 7, 13 ... \}

 L_2 = \{ -10, -4, 2, 8, 14 ... \}

 L_4 = \{ -8, -2, 4, 10, 16 ... \}

 L_5 = \{ -7, -1, 5, 11, 17 ... \}

Da:

 \overline{a} * \overline{b} \equiv 0 \text{ mod 6}

 \overline{2} * \overline{3} \equiv 0 \text{ mod 6}

 \overline{4} * \overline{3} \equiv 0 \text{ mod 6}