TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 62

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Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit!

Vorbereitende Vereinfachungen[edit]

Allgemeines zur Zerlegung in Linearfaktoren[edit]

Idee: Da die Lösung dieser Aufgabe mit einer quadratischen Gleichung, die in die Form (xf)(xg) viel einfacher ist, möchten wir die vorliegende quadratische Gleichung in Linearfaktoren zerlegen.

Es gilt dabei folgender Zerlegungssatz:


Der quadratische Term

lässt sich genau dann in die Linearfaktoren

zerlegen, wenn die quadratische Gleichung

in lösbar ist und die Zahlen und als Lösungen hat.


Anmerkungen:

  1. Der Satz gilt auch, wenn , d.h. wenn die Gleichung nur eine Lösung hat.
  2. Mit "in lösbar" ist auch gemeint, dass die Diskriminante (s. weiter unten) einen entsprechenden reellen Wert hat.

Isolierung der Koeffizienten[edit]

Die gegebene quadratische Gleichung

stellen wir allgemeiner wie folgt dar:

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:

  • a=1
  • b=-3
  • c=2


Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen[edit]


Sonderform: Satz von Vieta als Lösungsformel f. quadratische Gleichungen[edit]

Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Division durch auf die sogenannte Normalform bringen, mit folgt .

Damit lautet der Satz von Vieta: Zwischen den Lösungen und den Koeffizienten der quadratischen Gleichung in Normalform besteht folgender Zusammenhang: und .

Betrachtung der Diskriminante[edit]

Die Diskriminante (D) ist . Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in oder zu erwarten sind.

Wenn gilt:

  • D > 0 verschiedene reelle Lösungen
  • D = 0 genau eine Lösung
  • D < 0 keine reelle Lösung

Unsere Diskriminante beträgt 1, daher werden wir zwei reelle Lösungen erwarten!


Berechnung der Lösungen[edit]

  • a=1
  • b=-3
  • c=2

Damit kann ich die Gleichung zerlegen in:

(Zerlegung in Linearfaktoren - https://web.archive.org/web/20180817161625/http://www.mathematik.net/quadratische-gleichungen/q11s10.htm ) --Mnemetz 22:19, 15. Nov 2005 (CET)

Beispiel 62a[edit]

Zunächst vereinfachen wir den linken Term mal ...

Da nullteilerfrei ist, gilt hier oder

Nullteilerfreiheit liegt dann vor, wenn eine weitere Zerlegung in Primfaktoren nicht mehr möglich ist. Beispiel: 5 kann ich nicht zerlegen, 6 schon - in 2*3.

Somit haben wir:


Beispiel 62b[edit]

ist nicht nullteilerfrei, hier ist zusätzlich und

Damit sind die Lösungen der Gleichung nicht nur und , sondern auch noch und

Entweder sieht man, das (x-1)(x-2) genau die Form 3*2 bzw. 4*3 für x-1 = 3 bzw. x-1 = 4, also x = 4 bzw. x = 5 hat, oder man probiert die möglichen Kongruenzen 0, 1, 2, 3, 4 und 5 einfach aus. Dann sieht man, dass genau x = 4 und x = 5 die Gleichung erfüllen.


Da: