TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 75

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Beweisen Sie mit Hilfe von Kongruenzen, dass die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl sein kann.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Teilung von geraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 0 Rest. Beweis: Eine gerade Zahl kann man als 2k darstellen. Diese quadriert (2k)² ergibt 4k². Sprich ein Vielfaches von 4. Daraus folgt 0 Rest.

Die Teilung von ungeraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 1 Rest. Beweis: Eine ungerade Zahl kann man als 2k + 1 darstellen. Diese quadriert (2k + 1)² ergibt 4k² +4k + 1. Sprich ein Vielfaches von 4 plus 1. Daraus folgt 1 Rest.

Lösungsvorschlag von david[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei eine ungerade Zahl, dann gilt:

Daraus folgt:

Wenn a gerade wäre, würde gelten:

, also

Die Summe zweier ungerader Quadratzahlen a², b² ist dann:

Somit liegt die Summe der Quadratzahlen weder in der Restklasse 1 von ungeraden Quadratzahlen, noch in der Restklasse 0 von geraden Quadratzahlen. Daraus folgt, dass a²+b² keine Quadratzahl sein kann.


Alternative (und kürzere) Antwort:

a² ≡ 1 mod 4

b² ≡ 1 mod 4

a²+b² ≡ 1+1 mod 4 => a²+b² ≡ 2 mod 4 => Keine Quadratzahl!