TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 75
Beweisen Sie mit Hilfe von Kongruenzen, dass die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl sein kann.
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oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Teilung von geraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 0 Rest. Beweis: Eine gerade Zahl kann man als 2k darstellen. Diese quadriert (2k)² ergibt 4k². Sprich ein Vielfaches von 4. Daraus folgt 0 Rest.
Die Teilung von ungeraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 1 Rest. Beweis: Eine ungerade Zahl kann man als 2k + 1 darstellen. Diese quadriert (2k + 1)² ergibt 4k² +4k + 1. Sprich ein Vielfaches von 4 plus 1. Daraus folgt 1 Rest.
Lösungsvorschlag von david[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
sei eine ungerade Zahl, dann gilt:
Daraus folgt:
Wenn a gerade wäre, würde gelten:
, also
Die Summe zweier ungerader Quadratzahlen a², b² ist dann:
Somit liegt die Summe der Quadratzahlen weder in der Restklasse 1 von ungeraden Quadratzahlen, noch in der Restklasse 0 von geraden Quadratzahlen. Daraus folgt, dass a²+b² keine Quadratzahl sein kann.
Alternative (und kürzere) Antwort:
a² ≡ 1 mod 4
b² ≡ 1 mod 4
a²+b² ≡ 1+1 mod 4 => a²+b² ≡ 2 mod 4 => Keine Quadratzahl!