Man zeige, daß durch für alle eine Äquivalenzrelation in der Menge erklärt wird, und bestimme die zugehörende Partition.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Um eine Äquivalenzrelation zu sein, muss R reflexiv, symmetrisch und transitiv sein:
Reflexivität()
3 teilt 0
Symmetrie()
wenn 3 teilt, teilt 3 ja auch
Transitivität()
1.
2.
wenn 1. und 2. gilt folgt:
...3 teilt also ...
...und damit hätte man auch die Transitivität gezeigt
Jetzt muss man noch die zugehörende Partition bestimmen:
Ich fang mal an mit der Äquivalenzklasse für 0(also alle Zahlen, welche in Relation zu 0 stehen)
daraus liest man ab, dass die Partition
Jetzt die Äquivalenzklasse für 1:
...also muss entweder a+1 oder a-1 ein Vielfaches von 3 sein:
einerseits kann, wegen , a aus dieser Menge sein:
andererseits kann a, wegen , auch aus dieser Menge sein:
...wenn man diese Mengen vereinigt folgt:
Damit hat man alle Äquivalenzklassen, denn
--PurpleHaze 20:58, 10. Nov 2008 (CET)
Viel einfacher: aus dem Satz über die durch Äquivalenzklassen gebildete Partitionen und der zuvor bewiesene Aussage, dass R Relation auf ist, folgt sofort, dass die gesuchte Partition ist.