TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 112

Die Relation R sei für $m,n\in$ {2,3,4,5} definiert durch $mRn\Leftrightarrow m+n$ ungerade oder $m=n$.

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Hilfreiches

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,

Symmetrie: $\forall a,b\,\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Lösungsvorschlag

Reflexivität:

 da eine Bedingung m = n lautet ist nRn gegeben
 GEGEBEN

Symmetrie:

 da eine Bedingung m + n lautet, ist natürlich nRm = mRn, da n+m gleich m+n ist
 GEGEBEN

Antisymmetrie:

 würde bedeuten dass falls nRm und mRn zutrifft n=m sein müsste -> stimmt allerdings nicht da z.B.: n=3 und m=4: 3R4 stimmmt und 4R3 stimmt
   NICHT GEGEBEN

Transitivität:

 bedeutet dass wenn nRm und mRo gilt, muss auch nRo gelten:
   wenn die Summe von zwei Zahlen ungerade ist, muss genau eine der beiden Zahlen ungerade sein, da sonst die Summe gerade ist
   daraus folgt dass bei nRm entweder n oder m ungerade sein muss.
   weiters folgt daraus, das bei mRo entweder o oder m ungerade sein muss.
   daraus folgt dass wenn m ungerade ist, n und o gerade sein muss. bzw wenn m gerade ist muss o und n ungerade sein.
   daraus folgt dass nRo nicht ungerade sein KANN!
   NICHT GEGEBEN

daraus folgt dass keine Äquivalenzrelation vorliegt!

kartesisches Koordinatensstem:

a
  |
5 |  x   x x  
4 |    x x x
3 |  x x x   
2 |  x x   x
  |_ _ _ _ _ _ 
     2 3 4 5   b

gerichteter Graph ist zu langweilig um ihn hier zu zeichnen

mfg BOERK