TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 1

Angabe

Man überprüfe die Gleichung

$1*2+2*3+3*4+\dots +(n-1)*n={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}},n\geq 2$

für $n=2,3,4,5$ und beweise sodann deren Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen $n\geq 2$ durch vollständige Induktion.

Hilfreiches

Zur Einfacheren Beweisführung lässt sich $1*2+2*3+3*4+\dots +(n-1)*n$ auch darstellen als $\sum _{j=2}^{n}(j-1)*j$.

Lösung 1

Dieser Lösungsansatz soll laut Panholzer leicht problematisch sein, da er formal nicht ganz korrekt ist.
Wer die formal korrekte Lösung hat, bitte als zweite Lösung dazuschreiben!

7.4.2012: Ich denke der Fehler ist doch nur, dass die Summe bei der Induktionsbehauptung auf einmal von j = 1 weggeht, sie aber immer nur von j = 2 weggehen dürfte, oder?

${\begin{aligned}n=2:\quad 1*2&={\frac {1*2*3}{3}}\\2&=2\quad w.A.\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}n=3:\quad 1*2+2*3&={\frac {2*3*4}{3}}\\8&=8\quad w.A.\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}n=4:\quad 1*2+2*3+3*4&={\frac {3*4*5}{3}}\\20&=20\quad w.A.\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}n=5:\quad 1*2+2*3+3*4+4*5&={\frac {4*5*6}{3}}\\40&=40\quad w.A.\end{aligned}}$

Nach dem Induktionsanfang $P\!\,(2)$ muss jetz noch der Induktionsschritt $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ bewiesen werden. Die Induktionsvoraussetzung ist dabei

$\sum _{j=2}^{n}(j-1)*j={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}},n\geq 2$

und die Induktionsbehauptung

$\sum _{j=1}^{n+1}(j-1)*j={\frac {((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1)}{3}}$.

Statt $\sum _{j=1}^{n+1}(j-1)*j$ kann jedoch auch $\sum _{j=2}^{n}(j-1)*j+((n+1)-1)(n+1)$ geschrieben werden. Die Induktionsbehauptung sieht nun wie folgt aus:

$\sum _{j=1}^{n}(j-1)*j+((n+1)-1)(n+1)={\frac {((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1)}{3}}$

und das $\sum _{j=1}^{n}(j-1)*j$ kann man gemäß der Induktionsvoraussetzung ersetzen durch ${\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}$. Nun kann man die Behauptung noch weiter vereinfachen (Wichtig hier bei ist, dass es sich immer um Äquvialenzumformungen handelt!):

${\begin{aligned}{\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}+((n+1)-1)(n+1)&={\frac {((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1)}{3}}\\{\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}+n(n+1)&={\frac {(n(n+1)((n+2)}{3}}\\{\frac {n^{3}-n}{3}}+n^{2}+n&={\frac {n^{3}+3n^{2}+2n}{3}}\\n^{3}+3n^{2}+2n&=n^{3}+3n^{2}+2n\quad {\text{ q.e.d }}\end{aligned}}$

von --Ziegenberg 00:29, 12. Mär. 2010 (CET)

Lösung 2

Induktionsvoraussetzung für n >= 2 $\sum _{j=2}^{n}(j-1)\cdot j={\frac {(n-1)\cdot n\cdot (n+1)}{3}}$

Induktionsbehauptung $\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)\cdot j={\frac {(n)\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}}$

Beweis der i.B.

$\sum _{j=2}^{n}(j-1)\cdot j+n\cdot (n+1)={\frac {(n)\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}}$

${\frac {(n-1)\cdot n\cdot (n+1)}{3}}+n\cdot (n+1)={\frac {(n)\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}}$

$(n-1)\cdot n\cdot (n+1)+3n\cdot (n+1)=n\cdot (n+1)\cdot (n+2)$

$(n-1)\cdot n+3n=n\cdot (n+2)$

$n^{2}+2n=n^{2}+2n$

Q.E.D.

von --fuersti