TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 1

Angabe

Man überprüfe die Gleichung

$1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\dots +(n-1)\ast n=\frac{(n-1)n(n+1)}{3},n\ge 2$

für $n=2,3,4,5$ und beweise sodann deren Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen $n\ge 2$ durch vollständige Induktion.

Hilfreiches

Zur Einfacheren Beweisführung lässt sich $1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\dots +(n-1)\ast n$ auch darstellen als $\sum _{j=2}^n(j-1)\ast j$.

Lösung 1

Dieser Lösungsansatz soll laut Panholzer leicht problematisch sein, da er formal nicht ganz korrekt ist.
Wer die formal korrekte Lösung hat, bitte als zweite Lösung dazuschreiben!

7.4.2012: Ich denke der Fehler ist doch nur, dass die Summe bei der Induktionsbehauptung auf einmal von j = 1 weggeht, sie aber immer nur von j = 2 weggehen dürfte, oder?

$\begin{array}{cc}n=2:1\ast 2& =\frac{1\ast 2\ast 3}{3}\\ 2& =2w.A.\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}n=3:1\ast 2+2\ast 3& =\frac{2\ast 3\ast 4}{3}\\ 8& =8w.A.\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}n=4:1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4& =\frac{3\ast 4\ast 5}{3}\\ 20& =20w.A.\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}n=5:1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+4\ast 5& =\frac{4\ast 5\ast 6}{3}\\ 40& =40w.A.\end{array}$

Nach dem Induktionsanfang $P(2)$ muss jetz noch der Induktionsschritt $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ bewiesen werden. Die Induktionsvoraussetzung ist dabei

$\sum _{j=2}^n(j-1)\ast j=\frac{(n-1)n(n+1)}{3},n\ge 2$

und die Induktionsbehauptung

$\sum _{j=1}^{n+1}(j-1)\ast j=\frac{((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1)}{3}$.

Statt $\sum _{j=1}^{n+1}(j-1)\ast j$ kann jedoch auch $\sum _{j=2}^n(j-1)\ast j+((n+1)-1)(n+1)$ geschrieben werden. Die Induktionsbehauptung sieht nun wie folgt aus:

$\sum _{j=1}^n(j-1)\ast j+((n+1)-1)(n+1)=\frac{((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1)}{3}$

und das $\sum _{j=1}^n(j-1)\ast j$ kann man gemäß der Induktionsvoraussetzung ersetzen durch $\frac{(n-1)n(n+1)}{3}$. Nun kann man die Behauptung noch weiter vereinfachen (Wichtig hier bei ist, dass es sich immer um Äquvialenzumformungen handelt!):

$\begin{array}{cc}\frac{(n-1)n(n+1)}{3}+((n+1)-1)(n+1)& =\frac{((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1)}{3}\\ \frac{(n-1)n(n+1)}{3}+n(n+1)& =\frac{(n(n+1)((n+2)}{3}\\ \frac{n^3-n}{3}+n^2+n& =\frac{n^3+3n^2+2n}{3}\\ n^3+3n^2+2n& =n^3+3n^2+2n\text{ q.e.d }\end{array}$

von --Ziegenberg 00:29, 12. Mär. 2010 (CET)

Lösung 2

Induktionsvoraussetzung für n >= 2 $\sum _{j=2}^n(j-1)\cdot j=\frac{(n-1)\cdot n\cdot (n+1)}{3}$

Induktionsbehauptung $\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)\cdot j=\frac{(n)\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}$

Beweis der i.B.

$\sum _{j=2}^n(j-1)\cdot j+n\cdot (n+1)=\frac{(n)\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}$

$\frac{(n-1)\cdot n\cdot (n+1)}{3}+n\cdot (n+1)=\frac{(n)\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}$

$(n-1)\cdot n\cdot (n+1)+3n\cdot (n+1)=n\cdot (n+1)\cdot (n+2)$

$(n-1)\cdot n+3n=n\cdot (n+2)$

$n^2+2n=n^2+2n$

Q.E.D.

von --fuersti