Man bestimme alle m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }
a) P(n): n ! ≤ 10 n {\displaystyle n!\leq 10n}
b) P(n): ( n 2 − 5 n − 6 ≥ 0 ) → ( n ≤ 10 ) {\displaystyle (n^{2}-5n-6\geq 0)\rightarrow (n\leq 10)}
c) P(m,n): ( m = n ! ) → ( m ist durch 10 teilbar ) {\displaystyle (m=n!)\rightarrow (m{\text{ ist durch 10 teilbar}})}
n ! ≤ 10 n ( n − 1 ) ! ⋅ n ≤ 10 n ( n − 1 ) ! ≤ 10 {\displaystyle {\begin{aligned}n!&\leq 10n\\(n-1)!\cdot n&\leq 10n\\(n-1)!&\leq 10\\\end{aligned}}}
Da 3 ! ≤ 10 {\displaystyle 3!\leq 10} n ≤ 4 {\displaystyle n\leq 4}
P(n) geht daher für alle n ≤ 4 {\displaystyle n\leq 4}
Anm: Gilt es nicht für alle 1 ≤ n ≤ 4 {\displaystyle 1\leq n\leq 4} 0 ! {\displaystyle 0!} 1 {\displaystyle 1}
Antwort: wir befinden uns hier im Bereich der natürlichen Zahlen somit sei dies bereits vorausgesetzt. lg Dominik
n 2 − 5 n − 6 {\displaystyle n^{2}-5n-6} n 2 − 5 n − 6 ≥ 0 n 2 ≥ 5 n + 6 n ≥ 6 {\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}-5n-6&\geq 0\\n^{2}&\geq 5n+6\\n&\geq 6\end{aligned}}}
Zuerst wird n 2 − 5 n − 6 ≥ 0 {\displaystyle n^{2}-5n-6\geq 0}
n 2 − 5 n − 6 n 2 − 6 n + n − 6 ( n − 6 ) ⋅ ( n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}-5n-6\\n^{2}-6n+n-6\\(n-6)\cdot (n+1)\end{aligned}}}
Die Nullstellen dieser Funktion sind 6 und -1. Die Funktion ist daher für n ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Nun wird die Vereinfachung eingesetzt:
( n 2 − 5 n − 6 ≥ 0 ) → ( n ≤ 10 ) ( n ≥ 6 ) → ( n ≤ 10 ) ¬ ( n ≥ 6 ) ∨ ( n ≤ 10 ) ( n < 6 ) ∨ ( n ≤ 10 ) n ≤ 10 {\displaystyle {\begin{aligned}(n^{2}-5n-6\geq 0)&\rightarrow (n\leq 10)\\(n\geq 6)&\rightarrow (n\leq 10)\\\neg (n\geq 6)&\vee \ (n\leq 10)\\(n<6)&\vee \ (n\leq 10)\\n&\leq 10\\\end{aligned}}}
( m = n ! ) → ( m ist durch 10 teilbar ) ¬ ( m = n ! ) ∨ ( m ist durch 10 teilbar ) ( m ≠ n ! ) ∨ ( m ist durch 10 teilbar ) {\displaystyle {\begin{aligned}(m=n!)&\rightarrow (m{\text{ ist durch 10 teilbar}})\\\neg (m=n!)&\vee \ (m{\text{ ist durch 10 teilbar}})\\(m\neq n!)&\vee \ (m{\text{ ist durch 10 teilbar}})\end{aligned}}}
n ! {\displaystyle n!} n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} 2 ⋅ 5 {\displaystyle 2\cdot 5} n > 4 {\displaystyle n>4} m {\displaystyle m} n < 4 {\displaystyle n<4} m = n ! {\displaystyle m=n!} n ! {\displaystyle n!} 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} 1 ! = 1 {\displaystyle 1!=1} 2 ! = 2 {\displaystyle 2!=2} 3 ! = 6 {\displaystyle 3!=6} 4 ! = 24 {\displaystyle 4!=24}
( n > 4 ) ∨ ( m ≠ n ! ) {\displaystyle (n>4)\vee (m\neq n!)}
TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 10
