TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 12

Man bestimme alle $m,n\in \mathbb{N}$, für welche die Prädikate P(n) bzw. P(m,n) in eine wahre Aussage übergehen:

a) P(n): $n!\le 10n$

b) P(n): $(n^2-5n-6\ge 0)\to (n\le 10)$

c) P(m,n): $(m=n!)\to (m\text{ ist durch 10 teilbar})$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}n!& \le 10n\\ (n-1)!\cdot n& \le 10n\\ (n-1)!& \le 10\\ \end{array}$

Da $3!\le 10$ noch die Ungleichung erfüllt, folgt also: $n\le 4$

P(n) geht daher für alle $n\le 4$ in ein wahre Aussage über.

Anm: Gilt es nicht für alle $1\le n\le 4$? $0!$ ist per Definition $1$. lg AnTx

Antwort: wir befinden uns hier im Bereich der natürlichen Zahlen somit sei dies bereits vorausgesetzt. lg Dominik

Beispiel (b)

$n^2-5n-6$

Variante 1 (Umformung)

$\begin{array}{cc}{n}^2-5n-6& \ge 0\\ n^2& \ge 5n+6\\ n& \ge 6\end{array}$

Variante 2 (Nullstellen)

Zuerst wird $n^2-5n-6\ge 0$ vereinfacht:

$\begin{array}{c}{n}^2-5n-6\\ n^2-6n+n-6\\ (n-6)\cdot (n+1)\end{array}$

Die Nullstellen dieser Funktion sind 6 und -1. Die Funktion ist daher für $n\ge 6$ größer oder gleich 0 ($n\in \mathbb{N}$).

Nun wird die Vereinfachung eingesetzt:

$\begin{array}{cc}(n^2-5n-6\ge 0)& \to (n\le 10)\\ (n\ge 6)& \to (n\le 10)\\ \mathrm{\neg }(n\ge 6)& \vee (n\le 10)\\ (n<6)& \vee (n\le 10)\\ n& \le 10\\ \end{array}$

Beispiel (c)

$\begin{array}{cc}(m=n!)& \to (m\text{ ist durch 10 teilbar})\\ \mathrm{\neg }(m=n!)& \vee (m\text{ ist durch 10 teilbar})\\ (m\ne n!)& \vee (m\text{ ist durch 10 teilbar})\end{array}$

$n!$ ist ab $n\ge 5$ aufgrund von $2\cdot 5$ immer durch 10 teilbar. Daher ist das Prädikat für $n>4$ unabhängig von $m$ immer wahr. Für die Fälle $n<4$ ist das Prädikat nur dann falsch, wenn $m=n!$, da alle $n!$ in diesem Bereich ($0!=1$, $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$) sowieso nicht durch 10 teilbar sind:

$(n>4)\vee (m\ne n!)$

Link zu anderen Lösungen des gleichen Beispiels

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 10