TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 12

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Man bestimme alle m, n \in \mathbb N, für welche die Prädikate P(n) bzw. P(m,n) in eine wahre Aussage übergehen:

a) P(n): n! \leq 10n

b) P(n): (n^2 - 5n - 6 \geq 0) \rightarrow (n \leq 10)

c) P(m,n): (m = n!) \rightarrow (m \text{ ist durch 10 teilbar})


Lösungsvorschlag[edit]

Beispiel (a)[edit]


\begin{align}
n! & \leq 10n \\
(n-1)!\cdot n & \leq 10n \\
(n-1)! & \leq 10 \\
\end{align}

Da 3! \leq 10 noch die Ungleichung erfüllt, folgt also: n \leq 4

P(n) geht daher für alle n \leq 4 in ein wahre Aussage über.

Anm: Gilt es nicht für alle 1\leq n \leq 4? 0! ist per Definition 1. lg AnTx

Antwort: wir befinden uns hier im Bereich der natürlichen Zahlen somit sei dies bereits vorausgesetzt. lg Dominik

Beispiel (b)[edit]

n^2-5n-6

Variante 1 (Umformung)[edit]


\begin{align}
n^2 - 5n - 6 & \geq 0 \\
n^2 & \geq 5n + 6 \\
n & \geq 6
\end{align}

Variante 2 (Nullstellen)[edit]

Zuerst wird n^2 - 5n - 6 \geq 0 vereinfacht:


\begin{align}
n^2 - 5n - 6 \\
n^2 - 6n + n - 6 \\
(n-6)\cdot(n+1)
\end{align}

Die Nullstellen dieser Funktion sind 6 und -1. Die Funktion ist daher für n \geq 6 größer oder gleich 0 (n \in \mathbb N).

Nun wird die Vereinfachung eingesetzt:


\begin{align}
(n^2 - 5n - 6 \geq 0) & \rightarrow (n \leq 10) \\
(n \geq 6) & \rightarrow (n \leq 10) \\
\neg (n \geq 6) & \vee\ (n \leq 10) \\
(n < 6) & \vee\ (n \leq 10) \\
n & \leq 10 \\
\end{align}

Beispiel (c)[edit]


\begin{align}
(m = n!) & \rightarrow (m \text{ ist durch 10 teilbar}) \\
\neg(m = n!) & \vee\ (m \text{ ist durch 10 teilbar}) \\
(m \neq n!) & \vee\ (m \text{ ist durch 10 teilbar})
\end{align}


n! ist ab n \geq 5 aufgrund von 2 \cdot 5 immer durch 10 teilbar. Daher ist das Prädikat für n > 4 unabhängig von m immer wahr. Für die Fälle n < 4 ist das Prädikat nur dann falsch, wenn m = n!, da alle n! in diesem Bereich (0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24) sowieso nicht durch 10 teilbar sind:

(n > 4) \vee (m \neq n!)

Link zu anderen Lösungen des gleichen Beispiels[edit]

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 10