TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 19

Man vergleiche die Hassediagramme der beiden Halbordnungen $⟨𝔓(\{a,b,c\}),\subseteq ⟩$ und $⟨T_{165},|⟩$.

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Lösung für $⟨𝔓(a,b,c),\subseteq ⟩$

Die Potenzmenge der Menge {a,b,c}, also $𝔓(\{a,b,c\})=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$.

Das Hasse-Diagramm sieht daher wie folgt aus:

Das bedeutet: $\mathrm{\varnothing }\subseteq \{a\}$, $\mathrm{\varnothing }\subseteq \{b\}$, $\mathrm{\varnothing }\subseteq \{c\}$, $\{a\}\subseteq \{a,b\}$ etc.

Lösung für $⟨T_{165},|⟩$

Die Menge $T_{165}$ bezeichnet die Menge aller Teiler von 165. Alle Zahlen sind durch 1 und durch sich selbst teilbar. Nicht-Primzahlen wie 165 sind zusätzlich noch durch ihre Primfaktoren (in diesem Fall 3, 5 und 11) und durch die Kombinationen dieser Primfaktoren ($3\cdot 5=15$, $3\cdot 11=33$, $5\cdot 11=55$) teilbar. Daher ist

$T_{165}=\{1,3,5,11,15,33,55,165\}$

Das Hasse-Diagramm dazu:

(Von Deez):

Das bedeutet: $1|3$, $1|5$, $1|11$, $3|15$, $3|33$ etc.

Die Ähnlichkeit sehe ich wie folgt: Setzt man die Mengen wie folgt {1,3,5,11} {0,a,b,c} und sieht das als 1 = 0 (leere menge) 3 = a 5 = b 11 = c

und damit löst sich das gesamten Hasse Diagramme ineinander auf: 165 = {a,b,c} = 3 * 5 * 11 33 = 3*11 = {a,c}

Das heist < P(3,5,11), |> (ich hoff ich hab das formal richtig definiert) deckt sich mit der Definition von < P(a,b,c), <= ) und 3,5,11 entspricht genau den Primfaktoren von 165!

Nachsatz von Mnemetz : Es handelt sich um einen Isomorphismus!