TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 2

Angabe

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge $x_{0}=1{\text{ und }}x_{n+1}=x_{n}+18n+15\mathrm {\,f{\ddot {u}}r\,} n\geq 0$ allgemein gilt:

$x_{n}=(3n+1)^{2}\mathrm {\,f{\ddot {u}}r\,alle\,} n\geq 0$

Lösung 1

Dieser Lösungsansatz soll laut Panholzer ist leicht problematisch, da er formal nicht ganz korrekt ist.

Zuerst muss der Induktionsanfang $P\!\,(0)$ gezeigt werden.

${\begin{aligned}1&=(3*0+1)^{2}\\1&=1\quad {\text{w.A.}}\end{aligned}}$

Jetzt muss noch gezeigt werden, dass auch $P\!\,(n+1)$ korrekt ist.

${\begin{aligned}(3(n+1)+1)^{2}&=(3n+1)^{2}+18n+15\\(3n+4)^{2}&=9n^{2}+6n+1+18n+15\\9n^{2}+24n+16&=9n^{2}+24n+16\quad {\text{ q.e.d }}\end{aligned}}$

von --Ziegenberg 11:39, 12. Mär. 2010 (CET)

Lösung 2

Dieser Lösungsansatz soll der formal korrekte sein.

Wieder gilt es den Induktionsanfang $P\!\,(0)$ zu zeigen.

${\begin{aligned}1&=(3*0+1)^{2}\\1&=1\quad {\text{w.A.}}\end{aligned}}$

Nun muss gezeigt werden, dass auch $P\!\,(n+1)$ korrekt ist.

${\begin{aligned}x_{n+1}&=(3(n+1)+1)^{2}\\&=9n^{2}+24n+16\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}x_{n+1}&=(3n+1)^{2}+18n+15\\&=9n^{2}+6n+1+18n+15\\&=9n^{2}+24n+16\end{aligned}}$

zeigen, dass in beiden Fällen $x_{\!\,n+1}$ das selbe Ergebnis hat. Somit ist die Vorschrift

$x_{n}=(3n+1)^{2}\mathrm {\,f{\ddot {u}}r\,alle\,} n\geq 0$

für die rekursiv definierte Folge

$x_{0}=1{\text{ und }}x_{n+1}=x_{n}+18n+15\mathrm {\,f{\ddot {u}}r\,} n\geq 0$

korrekt.

von --Ziegenberg 11:39, 12. Mär. 2010 (CET)