TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 2

Angabe

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge $x_0=1\text{ und }{x}_{n+1}=x_n+18n+15\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}n\ge 0$ allgemein gilt:

$x_n=(3n+1{)}^2\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}n\ge 0$

Lösung 1

Dieser Lösungsansatz soll laut Panholzer ist leicht problematisch, da er formal nicht ganz korrekt ist.

Zuerst muss der Induktionsanfang $P(0)$ gezeigt werden.

$\begin{array}{cc}1& =(3\ast 0+1{)}^2\\ 1& =1\text{w.A.}\end{array}$

Jetzt muss noch gezeigt werden, dass auch $P(n+1)$ korrekt ist.

$\begin{array}{cc}(3(n+1)+1{)}^2& =(3n+1{)}^2+18n+15\\ (3n+4{)}^2& =9n^2+6n+1+18n+15\\ 9n^2+24n+16& =9n^2+24n+16\text{ q.e.d }\end{array}$

von --Ziegenberg 11:39, 12. Mär. 2010 (CET)

Lösung 2

Dieser Lösungsansatz soll der formal korrekte sein.

Wieder gilt es den Induktionsanfang $P(0)$ zu zeigen.

$\begin{array}{cc}1& =(3\ast 0+1{)}^2\\ 1& =1\text{w.A.}\end{array}$

Nun muss gezeigt werden, dass auch $P(n+1)$ korrekt ist.

$\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& =(3(n+1)+1{)}^2\\ & =9n^2+24n+16\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& =(3n+1{)}^2+18n+15\\ & =9n^2+6n+1+18n+15\\ & =9n^2+24n+16\end{array}$

zeigen, dass in beiden Fällen $x_{n+1}$ das selbe Ergebnis hat. Somit ist die Vorschrift

$x_n=(3n+1{)}^2\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}n\ge 0$

für die rekursiv definierte Folge

$x_0=1\text{ und }{x}_{n+1}=x_n+18n+15\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}n\ge 0$

korrekt.

von --Ziegenberg 11:39, 12. Mär. 2010 (CET)