TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 48

Man zeige, dass die Menge $P_3(ℝ)$ aller Polynome $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_i\in ℝ$ einen Vektorraum über $ℝ$ bildet. Ferner gebe man zwei verschiedene Basen von $P_3(ℝ)$ an.

Lösungsvorschlag

Damit es es ein Vekorraum bildet müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

(i) $\begin{array}{cc}\lambda \cdot (a+b)& =\lambda \cdot a+\lambda \cdot b\\ \lambda \cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3)& =\lambda \cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)+\lambda \cdot (b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3)\\ \lambda \cdot ((a_0+b_0)+(a_1+b_1)\cdot x+(a_2+b_2)\cdot x^2+(a_3+b_3)\cdot x^3)& =\lambda \cdot a_0+\lambda \cdot a_{1}x+\lambda \cdot a_2{x}^2+\lambda \cdot a_3{x}^3+\lambda \cdot b_0+\lambda \cdot b_{1}x+\lambda \cdot b_2{x}^2+\lambda \cdot b_3{x}^3\\ \lambda \cdot (a_0+b_0)+\lambda \cdot (a_1+b_1)\cdot x+\lambda \cdot (a_2+b_2)\cdot x^2+\lambda \cdot (a_3+b_3)\cdot x^3& =\lambda \cdot (a_0+b_0)+\lambda \cdot (a_1+b_1)\cdot x+\lambda \cdot (a_2+b_2)\cdot x^2+\lambda \cdot (a_3+b_3)\cdot x^3\end{array}$

(ii) $\begin{array}{cc}(\lambda +\mu )\cdot a& =\lambda \cdot a+\mu \cdot a\\ (\lambda +\mu )\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)& =\lambda \cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)+\mu \cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)\\ \lambda \cdot a_0+\lambda \cdot a_{1}x+\lambda \cdot a_2{x}^2+\lambda \cdot a_3{x}^3+\mu \cdot a_0+\mu \cdot a_{1}x+\mu \cdot a_2{x}^2+\mu \cdot a_3{x}^3& =\lambda \cdot a_0+\lambda \cdot a_{1}x+\lambda \cdot a_2{x}^2+\lambda \cdot a_3{x}^3+\mu \cdot a_0+\mu \cdot a_{1}x+\mu \cdot a_2{x}^2+\mu \cdot a_3{x}^3\end{array}$

(iii) $\begin{array}{cc}(\lambda \cdot \mu )\cdot a& =\lambda \cdot (\mu \cdot a)\\ (\lambda \cdot \mu )\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)& =\lambda \cdot (\mu \cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3))\\ (\lambda \cdot \mu )\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)& =\lambda \cdot (\mu \cdot a_0+\mu \cdot a_{1}x+\mu \cdot a_2{x}^2+\mu \cdot a_3{x}^3))\\ \lambda \cdot \mu \cdot a_0+\lambda \cdot \mu \cdot a_{1}x+\lambda \cdot \mu \cdot a_2{x}^2+\lambda \cdot \mu \cdot a_3{x}^3& =\lambda \cdot \mu \cdot a_0+\lambda \cdot \mu \cdot a_{1}x+\lambda \cdot \mu \cdot a_2{x}^2+\lambda \cdot \mu \cdot a_3{x}^3\end{array}$

(iv) $\begin{array}{cc}1\cdot a& =a\\ 1\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)& =a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3\\ a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3& =a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3\end{array}$

Basis ist z.B. $\{1,x,x^2,x^3\}$ und $\{1,x+x^2,x^2,x^3\}$