Man zeige, dass die Menge P3(R){\displaystyle P_{3}(\mathbb {R} )} aller Polynome a0+a1x+a2x2+a3x3{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}} vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten ai∈R{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} } einen Vektorraum über R{\displaystyle \mathbb {R} } bildet. Ferner gebe man zwei verschiedene Basen von P3(R){\displaystyle P_{3}(\mathbb {R} )} an.
Damit es es ein Vekorraum bildet müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:
(i) λ⋅(a+b)=λ⋅a+λ⋅bλ⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3+b0+b1x+b2x2+b3x3)=λ⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3)+λ⋅(b0+b1x+b2x2+b3x3)λ⋅((a0+b0)+(a1+b1)⋅x+(a2+b2)⋅x2+(a3+b3)⋅x3)=λ⋅a0+λ⋅a1x+λ⋅a2x2+λ⋅a3x3+λ⋅b0+λ⋅b1x+λ⋅b2x2+λ⋅b3x3λ⋅(a0+b
(ii) (λ+μ)⋅a=λ⋅a+μ⋅a(λ+μ)⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3)=λ⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3)+μ⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3)λ⋅a0+λ⋅a1x+λ⋅a2x2+λ⋅a3x3+μ⋅a0+μ⋅a1x+μ⋅a2x2+μ⋅a3x3=λ⋅a0+λ⋅a1x+λ⋅a2x2+λ⋅a3x3+μ⋅a0+μ⋅a1x+μ⋅a2x2+μ⋅a3x3{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(\lambda +\mu )\cdot a&=\lambda \cdot a+\mu \cdot a\\(\lambda +\mu )\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})&=\lambda \cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+\mu \cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})\\\lambda \cdot a_{0}+\lambda \cdot a_{1}x+\lambda \cdot a_{2}x^{2}+\lambda \cdot a_{3}x^{3}+\mu \cdot a_{0}+\mu \cdot a_{1}x+\mu \cdot a_{2}x^{2}+\mu \cdot a_{3}x^{3}&=\lambda \cdot a_{0}+\lambda \cdot a_{1}x+\lambda \cdot a_{2}x^{2}+\lambda \cdot a_{3}x^{3}+\mu \cdot a_{0}+\mu \cdot a_{1}x+\mu \cdot a_{2}x^{2}+\mu \cdot a_{3}x^{3}\end{alignedat}}}
(iii) (λ⋅μ)⋅a=λ⋅(μ⋅a)(λ⋅μ)⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3)=λ⋅(μ⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3))(λ⋅μ)⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3)=λ⋅(μ⋅a0+μ⋅a1x+μ⋅a2x2+μ⋅a3x3))λ⋅μ⋅a0+λ⋅μ⋅a1x+λ⋅μ⋅a2x2+λ⋅μ⋅a3x3=λ⋅μ⋅a0+λ⋅μ⋅a1x+λ⋅μ⋅a2x2+λ⋅μ⋅a3x3{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(\lambda \cdot \mu )\cdot a&=\lambda \cdot (\mu \cdot a)\\(\lambda \cdot \mu )\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})&=\lambda \cdot (\mu \cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}))\\(\lambda \cdot \mu )\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})&=\lambda \cdot (\mu \cdot a_{0}+\mu \cdot a_{1}x+\mu \cdot a_{2}x^{2}+\mu \cdot a_{3}x^{3}))\\\lambda \cdot \mu \cdot a_{0}+\lambda \cdot \mu \cdot a_{1}x+\lambda \cdot \mu \cdot a_{2}x^{2}+\lambda \cdot \mu \cdot a_{3}x^{3}&=\lambda \cdot \mu \cdot a_{0}+\lambda \cdot \mu \cdot a_{1}x+\lambda \cdot \mu \cdot a_{2}x^{2}+\lambda \cdot \mu \cdot a_{3}x^{3}\end{alignedat}}}
(iv) 1⋅a=a1⋅(a0+a1x+a2x2+a3x3)=a0+a1x+a2x2+a3x3a0+a1x+a2x2+a3x3=a0+a1x+a2x2+a3x3{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}1\cdot a&=a\\1\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})&=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\\a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}&=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\end{alignedat}}}
Basis ist z.B. {1,x,x2,x3}{\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3}\}} und {1,x+x2,x2,x3}{\displaystyle \{1,x+x^{2},x^{2},x^{3}\}}
und 