TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 50

Man zeige allgemein, dass jede quadratische Matrix $A$ als Summe einer symmetrischen Matrix $B$ (mit $B=B^T$) und einer schiefsymmetrischen Matrix $C$ (mit $C=-C^T$) geschrieben werden kann. (Hinweis: Man wähle $B=(1/2)(A+A^T)$.) Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 4& 1& 1\\ 3& 0& 5\end{array}\right)$

aus?

Lösungsvorschlag

OK $A=A+\frac{1}{2}{A}^T-\frac{1}{2}{A}^T=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}{A}^T+\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}{A}^T=\underset{B}{\underbrace{\frac{1}{2}(A+A^T)}}+\underset{C}{\underbrace{\frac{1}{2}(A-A^T)}}=B+C$

$B=\frac{1}{2}(A+A^T)$

$B^T=\frac{1}{2}(A^T+(A^T{)}^T)=\frac{1}{2}(A^T+A)=B$ (B ist also eine symmetrische Matrix)

$C=\frac{1}{2}(A-A^T)$

$C^T=\frac{1}{2}(A^T-(A^T{)}^T)=\frac{1}{2}(A^T-A)=-C$ (C ist also eine schiefsymmetrische Matrix)

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2.5\\ 1& 1& 0.5\\ 2.5& 0.5& 5\end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& -0.5\\ 3& 0& 0.5\\ 0.5& -0.5& 0\end{array}\right)$

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Frage von Energy: In der Angabe steht: $C=-C^T$, du zeigst aber, dass $-C=C^T$ gilt. Ist das das selbe oder doch ein Fehler?

Durch Skalarmultiplikation von $-1$ auf beiden Seiten erhält mensch dann das $C=-C^T$ aus der Angabe.