TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 50

Man zeige allgemein, dass jede quadratische Matrix $A$ als Summe einer symmetrischen Matrix $B$ (mit $B=B^{T}$) und einer schiefsymmetrischen Matrix $C$ (mit $C=-C^{T}$) geschrieben werden kann. (Hinweis: Man wähle $B=(1/2)(A+A^{T})$.) Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&-2&2\\4&1&1\\3&0&5\end{pmatrix}}$

aus?

Lösungsvorschlag

OK $A=A+{\frac {1}{2}}A^{T}-{\frac {1}{2}}A^{T}={\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}A^{T}+{\frac {1}{2}}A-{\frac {1}{2}}A^{T}=\underbrace {{\frac {1}{2}}(A+A^{T})} _{B}+\underbrace {{\frac {1}{2}}(A-A^{T})} _{C}=B+C$

$B={\frac {1}{2}}(A+A^{T})$

$B^{T}={\frac {1}{2}}(A^{T}+(A^{T})^{T})={\frac {1}{2}}(A^{T}+A)=B$ (B ist also eine symmetrische Matrix)

$C={\frac {1}{2}}(A-A^{T})$

$C^{T}={\frac {1}{2}}(A^{T}-(A^{T})^{T})={\frac {1}{2}}(A^{T}-A)=-C$ (C ist also eine schiefsymmetrische Matrix)

$B={\begin{pmatrix}1&1&2.5\\1&1&0.5\\2.5&0.5&5\end{pmatrix}}$

$C={\begin{pmatrix}0&-3&-0.5\\3&0&0.5\\0.5&-0.5&0\end{pmatrix}}$

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Frage von Energy: In der Angabe steht: $C=-C^{T}$, du zeigst aber, dass $-C=C^{T}$ gilt. Ist das das selbe oder doch ein Fehler?

Durch Skalarmultiplikation von $-1$ auf beiden Seiten erhält mensch dann das $C=-C^{T}$ aus der Angabe.