TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 52

Man bestimme den Rang der folgenden Matrix:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ -2& 2& 0& -4\\ 1& 1& 1& 3\\ 0& -1& 0& 0\\ 2& 0& -2& 2\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag

Spaltenumformung

Subtraktion der ersten Spalte 2mal von der zweiten, 1mal von der dritten und 3mal von der vierten:

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& -2& 2& 2\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 2& -4& -4& -4\end{array}\right)$

Subtraktion der dritten Spalte von der vierten:

$A^{″}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& -2& 2& 0\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 2& -4& -4& 0\end{array}\right)$

Division der zweiten Spalte durch -2:

$A^{‴}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 2& 0\\ 1& 0.5& 0& 0\\ 0& 0.5& 0& 0\\ 2& 2& -4& 0\end{array}\right)$

Subtraktion der zweiten Spalte 2mal von der dritten:

$A^{⁗}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 1& 0.5& -1& 0\\ 0& 0.5& -1& 0\\ 2& 2& -8& 0\end{array}\right)$

Multiplikation der dritten Spalte mit -1:

$A^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 1& 0.5& 1& 0\\ 0& 0.5& 1& 0\\ 2& 2& 8& 0\end{array}\right)$

Multiplikation der vierten Splate mit -24:

$A^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 1& 0.5& 1& 0\\ 0& 0.5& 1& 0\\ 2& 2& 8& 0\end{array}\right)$

Der Rang der Matrix ist daher $rg(A)=3$.

Zeilenumformung

Addition der ersten Zeile 2mal zur zweiten und Subtraktion der ersten Zeile 1mal von der dritten und 2mal von der fünften:

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 0& 6& 2& 2\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& -4& -4& -4\end{array}\right)$

Subtraktion der dritten Zeile von der vierten:

$A^{″}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 0& 6& 2& 2\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -4& -4& -4\end{array}\right)$

Vertauschen der zweiten und dritten Zeile:

$A^{‴}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 6& 2& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -4& -4& -4\end{array}\right)$

Multiplikation der zweiten Zeile mit -1:

$A^{⁗}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 6& 2& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -4& -4& -4\end{array}\right)$

Subtraktion der zweiten Zeile 6mal von der dritten und Addition der zweiten Zeile 4mal zur fünften:

$A^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -4& -4\end{array}\right)$

Division der dritten Zeile durch 2:

$A^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -4& -4\end{array}\right)$

Addition der dritten Zeile 4mal zur fünften:

$A^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Der Rang der Matrix ist auch bei Zeilenumformungen $rg(A)=3$.