TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 52

Man bestimme den Rang der folgenden Matrix:

$A={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\-2&2&0&-4\\1&1&1&3\\0&-1&0&0\\2&0&-2&2\end{pmatrix}}$

Lösungsvorschlag

Spaltenumformung

Subtraktion der ersten Spalte 2mal von der zweiten, 1mal von der dritten und 3mal von der vierten:

$A'={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&-2&2&2\\1&-1&0&0\\0&-1&0&0\\2&-4&-4&-4\end{pmatrix}}$

Subtraktion der dritten Spalte von der vierten:

$A''={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&-2&2&0\\1&-1&0&0\\0&-1&0&0\\2&-4&-4&0\end{pmatrix}}$

Division der zweiten Spalte durch -2:

$A'''={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&1&2&0\\1&0.5&0&0\\0&0.5&0&0\\2&2&-4&0\end{pmatrix}}$

Subtraktion der zweiten Spalte 2mal von der dritten:

$A''''={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&0.5&-1&0\\0&0.5&-1&0\\2&2&-8&0\end{pmatrix}}$

Multiplikation der dritten Spalte mit -1:

$A'''''={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&0.5&1&0\\0&0.5&1&0\\2&2&8&0\end{pmatrix}}$

Multiplikation der vierten Splate mit -24:

$A''''''={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&0.5&1&0\\0&0.5&1&0\\2&2&8&0\end{pmatrix}}$

Der Rang der Matrix ist daher $rg(A)=3$.

Zeilenumformung

Addition der ersten Zeile 2mal zur zweiten und Subtraktion der ersten Zeile 1mal von der dritten und 2mal von der fünften:

$A'={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&6&2&2\\0&-1&0&0\\0&-1&0&0\\0&-4&-4&-4\end{pmatrix}}$

Subtraktion der dritten Zeile von der vierten:

$A''={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&6&2&2\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\\0&-4&-4&-4\end{pmatrix}}$

Vertauschen der zweiten und dritten Zeile:

$A'''={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&-1&0&0\\0&6&2&2\\0&0&0&0\\0&-4&-4&-4\end{pmatrix}}$

Multiplikation der zweiten Zeile mit -1:

$A''''={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&0&0\\0&6&2&2\\0&0&0&0\\0&-4&-4&-4\end{pmatrix}}$

Subtraktion der zweiten Zeile 6mal von der dritten und Addition der zweiten Zeile 4mal zur fünften:

$A'''''={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&0&0\\0&0&2&2\\0&0&0&0\\0&0&-4&-4\end{pmatrix}}$

Division der dritten Zeile durch 2:

$A''''''={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&-4&-4\end{pmatrix}}$

Addition der dritten Zeile 4mal zur fünften:

$A'''''''={\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Der Rang der Matrix ist auch bei Zeilenumformungen $rg(A)=3$.