TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 61

Zu folgenden konvergenten Zahlenfolgen bestimme man den Grenzwert:

(a) $x_{n}={\frac {n^{3}-4n^{2}-4n+1}{2n^{3}+1}}$

(b) $x_{n}={\sqrt {n^{2}+3}}-{\sqrt {n^{2}+1}}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{aligned}x_{n}&={\frac {n^{3}-4n^{2}-4n+1}{2n^{3}+1}}\\&={\frac {n^{3}\cdot \left(1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}\right)}{n^{3}\cdot \left(2+{\frac {1}{n^{3}}}\right)}}\\&={\frac {1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}{2+{\frac {1}{n^{3}}}}}\end{aligned}}$

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}\right)=1$

$\lim _{n\to \infty }\left(2+{\frac {1}{n^{3}}}\right)=2$

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}{2+{\frac {1}{n^{3}}}}}\right)={\frac {\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}\right)}{\lim _{n\to \infty }\left(2+{\frac {1}{n^{3}}}\right)}}={\frac {1}{2}}$

Beispiel (b)

${\begin{aligned}x_{n}&={\sqrt {n^{2}+3}}-{\sqrt {n^{2}+1}}\\&={\frac {{\sqrt {n^{2}+3}}-{\sqrt {n^{2}+1}}}{1}}\\&={\frac {\left({\sqrt {n^{2}+3}}-{\sqrt {n^{2}+1}}\right)\cdot \left({\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}\right)}{{\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}}}\\&={\frac {n^{2}+3-n^{2}-1}{{\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}}}\\&={\frac {2}{{\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}}}\\&={\frac {2}{{\sqrt {n^{2}\cdot \left(1+{\frac {3}{n^{2}}}\right)}}+{\sqrt {n^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{n^{2}}}\right)}}}}\\&={\frac {2}{n\cdot {\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+n\cdot {\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}}\\&={\frac {2}{n\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}\right)}}\end{aligned}}$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}=1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}=1$

$\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+\lim _{n\to \infty }{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}=1+1=2$

$\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}\right)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \lim _{n\to \infty }\left({\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}\right)=\infty \cdot 2=\infty$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{n\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}\right)}}={\frac {\lim _{n\to \infty }2}{\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {3}{n^{2}}}}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}\right)}}={\frac {2}{\infty }}=0$

Hinweis: Es ist leichter, wenn man die beiden Terme getrennt betrachtet, und einzeln zum Bruch erweitert. (Wurzel*Wurzel/Wurzel). Wenn man dann noch oben und unten das n^2 heraus hebt, bekommt man für jeden Term als lim 2/wurzel(2), und zuletzt 0.

Frage: Wieso überhaupt zum Bruch erweitern? ohne dem kommt man wie hier bei einem der späten schritte drauf das beide wurzeln zu 1 gehen, dann hat man 1 - 1 = 0 stehen ohne das man jemals irgendetwas erweitert hat