TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 61

Zu folgenden konvergenten Zahlenfolgen bestimme man den Grenzwert:

(a) $x_n=\frac{n^3-4n^2-4n+1}{2n^3+1}$

(b) $x_n=\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}{x}_n& =\frac{n^3-4n^2-4n+1}{2n^3+1}\\ & =\frac{n^3\cdot (1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{n^3\cdot (2+\frac{1}{n^3})}\\ & =\frac{1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{1}{n^3}}\end{array}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3})=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+\frac{1}{n^3})=2$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{1}{n^3}}\right)=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+\frac{1}{n^3})}=\frac{1}{2}$

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}{x}_n& =\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}\\ & =\frac{\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}}{1}\\ & =\frac{(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1})\cdot (\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}}\\ & =\frac{n^2+3-n^2-1}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}}\\ & =\frac{2}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}}\\ & =\frac{2}{\sqrt{n^2\cdot (1+\frac{3}{n^2})}+\sqrt{n^2\cdot (1+\frac{1}{n^2})}}\\ & =\frac{2}{n\cdot \sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+n\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\\ & =\frac{2}{n\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})}\end{array}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1+1=2$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})=\mathrm{\infty }\cdot 2=\mathrm{\infty }$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{n\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\cdot (\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})}=\frac{2}{\mathrm{\infty }}=0$

Hinweis: Es ist leichter, wenn man die beiden Terme getrennt betrachtet, und einzeln zum Bruch erweitert. (Wurzel*Wurzel/Wurzel). Wenn man dann noch oben und unten das n^2 heraus hebt, bekommt man für jeden Term als lim 2/wurzel(2), und zuletzt 0.

Frage: Wieso überhaupt zum Bruch erweitern? ohne dem kommt man wie hier bei einem der späten schritte drauf das beide wurzeln zu 1 gehen, dann hat man 1 - 1 = 0 stehen ohne das man jemals irgendetwas erweitert hat