Man leite die Funktionalgleichung exey=ex+y{\displaystyle e^{x}\;e^{y}=e^{x+y}} für die Exponentialfunktion aus deren Potenzreichendarstellung durch Bildung des Cauchyprodukts der entsprechenden Potenzreihen her.
exals Potenzreihe: ex=∑n=0∞xnn!{\displaystyle e^{x}{\text{als Potenzreihe: }}e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
Cauchyprodukt: (an)(bn)=(cn)=∑n=0∞cn mit cn=∑k=0nakbn−k{\displaystyle {\text{Cauchyprodukt: }}(a_{n})\;(b_{n})=(c_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\;b_{n-k}}
Binomialkoeffizient: (nk)=n!k!⋅(n−k)!{\displaystyle {\text{Binomialkoeffizient: }}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}
Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten: (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk{\displaystyle {\text{Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten: }}(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
ex⋅ey=∑n=0∞xnn!⋅∑n=0∞ynn!=∑n=0∞cn{\displaystyle e^{x}\cdot e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}
cn=∑k=0nxkk!⋅yn−k(n−k)!=∑k=0n1n!⋅n!k!(n−k)!⋅xk⋅yn−k=1n!⋅∑k=0n(nk)⋅xk⋅yn−k=1n!⋅(x+y)n{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}\cdot {\frac {y^{n-k}}{(n-k)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n!}}\cdot {\frac {n!}{k!\;(n-k)!}}\cdot x^{k}\cdot y^{n-k}={\frac {1}{n!}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot x^{k}\cdot y^{n-k}={\frac {1}{n!}}\cdot (x+y)^{n}}
⇒ex⋅ey=∑n=0∞(x+y)nn!=ex+y{\displaystyle \Rightarrow e^{x}\cdot e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=e^{x+y}}
q.e.d.
Manül 14:32, 17. Jun 2008 (CEST)
für die Exponentialfunktion aus deren Potenzreichendarstellung durch Bildung des Cauchyprodukts der entsprechenden Potenzreihen her.
